[論文レビュー] Optimal Skorokhod embedding given full marginals and Azema-Yor peacocks

Sigrid Källblad, Xiaolu Tan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、全マージナル制約下での最適 Skorokhod埋め込み問題について、一般の双対性結果を確立し、有限時刻から連続時刻のマージナルへ結果を拡張する。報酬がマルティンググールの最大値に依存する場合、Azéma-Yor埋め込みおよびマルティングル輸送理論からの極限的議論を用いて、最適埋め込みとその双対を特徴づけ、極値の peacock プロセスに対する明示的解を導出する。

ABSTRACT

We consider the optimal Skorokhod embedding problem (SEP) given full marginals over the time interval $[0,1]$. The problem is related to the study of extremal martingales associated with a peacock ("process increasing in convex order", by Hirsch, Profeta, Roynette and Yor). A general duality result is obtained by convergence techniques. We then study the case where the reward function depends on the maximum of the embedding process, which is the limit of the martingale transport problem studied in Henry-Labordere, Obloj, Spoida and Touzi. Under technical conditions, some explicit characteristics of the solutions to the optimal SEP as well as to its dual problem are obtained. We also discuss the associated martingale inequality.

研究の動機と目的

• 区間 [0,1] 上の全マージナル制約下で、有限マージナル最適 Skorokhod埋め込みの双対性結果を連続時刻マージナルへ拡張すること。
• 与えられた peacock プロセスに関連する最適マルティングル peacock を、最大値に依存する報酬関数のもとで特徴づけること。
• 繰り返し適用された Azéma-Yor埋め込みからの極限的議論を用いて、最適プライマルおよび双対解の明示的表現を導出すること。
• 与えられたマージナルを持つ極値マルティングルを用いて、モデル独立のオプション価格の上限・下限を確立すること。
• 連続時刻マージナル制約および最大値に基づく報酬へ、マルティングル輸送アプローチを一般化すること。

提案手法

• Guo, Tan, and Touzi (2015) の有限マージナルに対する双対性結果の極限をとることで、全マージナル下での最適 Skorokhod埋め込みに対する一般双対性結果を導出する。
• 収束技術を用いて、有限時刻マージナル制約から連続時刻マージナル制約へ繰り返し Azéma-Yor埋め込みを拡張する。
• マルティングル Spence-Mirrlees 条件および極限的議論を用いて、最適値および最適化子を特徴づける。
• Kellerer の定理を用いて与えられたマージナルを持つマルティングルの存在を保証し、Monroe の埋め込み定理を用いて停止時刻の存在を保証する。
• 右連続性および一様可積分性を活用して、有限マージナル問題の解の極限としてプライマルおよび双対最適化子を構成する。
• ランダム時間変換を伴う標準的確率空間を用い、パス空間上の Lévy 距離およびボレル シグマ代数を用いて、主要な汎関数の可測性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適 Skorokhod埋め込みの双対性枠組みを、有限個のマージナルから [0,1] 上の連続時刻マージナル制約へどのように拡張できるか？
• RQ2 報酬がマルティングルプロセスの最大値に依存する場合、最適埋め込みの明示的形は何か？
• RQ3 有限マージナルケースにおける繰り返し Azéma-Yor埋め込みと、全マージナル問題のプライマルおよび双対最適化子の関係は何か？
• RQ4 与えられたマージナルを持つ極値 peacock プロセスから導かれる、モデル独立のオプション価格の上限・下限は何か？
• RQ5 技術的条件下で、有限マージナル解の収束が全マージナル解へ厳密に正当化できるか？

主な発見

• 有限マージナル双対性結果の収束を用いて、全マージナル下での最適 Skorokhod埋め込み問題に対する一般双対性結果が確立された。
• 最大値に依存する報酬に対する最適解は、有限マージナルケースからの繰り返し Azéma-Yor埋め込みの極限として特徴づけられる。
• 最適値およびプライマル／双対最適化子は、peacock の累積分布関数および最大過程を用いて明示的に記述される。
• パス空間上の Lévy 距離および劣微分収束を用いて、有限マージナル解から全マージナル解への収束が証明された。
• 双対問題の解が報酬関数の凸下界関数に関連していることが示され、有限マージナル設定での既知の結果が拡張された。
• 本稿は最適マルティングルが peacock であることを確認し、時間変換付きブラウン運動によるパスワイズ実現の構成的技法を提供する。