[論文レビュー] Optimal SL(2)-homomorphisms

George J. McNinch|ArXiv.org|Sep 23, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、非常に良い特性を持つ代数閉体上の単純代数群 G への最適な SL(2)-準同型の共軛性を確立する。与えられた冪零元 X に対して、任意の2つのこのような準同型は X の連結中心化群の下で共軛であることが示され、主的準同型の共軛類の一意性が得られ、任意の最適な準同型の像が G-完全可約部分群であることが示される。結果は、X が K-有理的かつ p-冪零である場合、任意の基底体上での有理構造へ拡張可能である。

ABSTRACT

Let G be a semisimple group over an algebraically closed field of very good characteristic for G. In the context of geometric invariant theory, G. Kempf has associated optimal cocharacters of G to an unstable vector in a linear G-representation. If the nilpotent element X in Lie(G) lies in the image of the differential of a homomorphism SL(2) --> G, we say that homomorphism is optimal for X, or simply optimal, provided that its restriction to a suitable torus of SL(2) is optimal for X in Kempf's sense. We show here that any two SL(2)-homomorphisms which are optimal for X are conjugate under the connected centralizer of X. This implies, for example, that there is a unique conjugacy class of principal homomorphisms for G. We show that the image of an optimal SL(2)-homomorphism is a completely reducible subgroup of G; this is a notion defined recently by J-P. Serre. Finally, if G is defined over the (arbitrary) subfield K of k, and if X in Lie(G)(K) is a K-rational nilpotent element whose p-th power is 0, we show that there is an optimal homomorphism for X which is defined over K.

研究の動機と目的

• 代数閉体上の単純代数群 G における冪零元 X に対して、最適な SL(2)-準同型の共軛性を確立すること。
• 任意の最適な SL(2)-準同型の像が、セールが定義した G-完全可約部分群であることを証明すること。
• X が K-有理的かつ p-冪零元であるとき、基底体 K 上で定義された最適な SL(2)-準同型の存在を示すこと。
• Seitz が定義した「良い（制限付き）A₁部分群」との関係において、最適な SL(2)-準同型がどのように関連するかを示すこと。
• 不安定性フラッグおよびコアキシオムの共軛性に関する結果を、SL(2)-準同型の文脈へ一般化すること。

提案手法

• Kempf と Rousseau が開発した幾何的不変量理論に基づく最適コアキシオムの理論を用い、SL₂ の標準的トーラスへの制限により最適な SL(2)-準同型を定義する。
• Hilbert-Mumford の基準および順序公式を用いて、p-冪零元に関連するコアキシオムの重みを分析する。
• Seitz のティルティング加群および良い準同型に関する結果を用い、最適な準同型による SL₂ の随伴表現がティルティング加群であることを示す。
• コアキシオムの共軛性結果および中心化群の構造を用いて、最適な準同型が C_G⁰(X) の下で共軛であることを証明する。
• 基底変換および有理的性の技法を用い、X が K-有理的かつ p-冪零である場合に、最適な準同型を基底体 K 上へ降下させること。
• Springer の冪零軌道とユニポテンツ軌道の間の同型および Frobenius のねじれ理論を用いて、リー代数の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された冪零元 X ∈ Lie(G) に対して、すべての最適な SL(2)-準同型は、X の連結中心化群の下で共軛であるか？
• RQ2 最適な SL(2)-準同型の像は、G-完全可約部分群をなすか？
• RQ3 K-有理的かつ p-冪零元 X に対して、最適な SL(2)-準同型を基底体 K 上で定義できるか？
• RQ4 最適な SL(2)-準同型は、Seitz が定義した「良い（制限付き）A₁部分群」とどのように関係するか？
• RQ5 良い特性において、主的準同型の G-共軛類は一意的か？

主な発見

• 任意の冪零元 X に対して、2つの最適な SL(2)-準同型は、Theorem 44 で確立された C_G⁰(X) の下で共軛である。
• 任意の最適な SL(2)-準同型の像は、G-完全可約部分群である。これは Theorem 52 で証明された。
• 任意の K-有理的かつ p-冪零元 X ∈ Lie(G)(K) に対して、K 上で定義された最適な SL(2)-準同型が存在する。
• p-冪零元に関連するコアキシオムの重みは 2p−2 以下に有界であり、これは最適な準同型が Seitz の意味で「良い」ことを示唆する。
• 最適な準同型の共軛性から、主的準同型の G-共軛類が一意的であることが従う。
• φ が最適な準同型であるとき、(Ad∘φ, Lie(G)) は SL₂ におけるティルティング加群である。これは共軛性の証明に用いられた結果である。