[論文レビュー] Optimal Solution of Nonlinear Fuzzy Optimization Problem under Linear Order Relation

Umme Salma M. Pirzada|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般化Hukuhara（gH）微分可能性と、ファジィ数上の線形順序関係を用いて、非線形ファジィ最適化問題における未制約多変数問題の新たな必要十分最適性条件を提案する。従来のHukuhara微分可能性と部分順序に依存する手法とは異なり、このアプローチにより、非微分可能なレベル関数を含む、より広いクラスのファジィ値関数の最適性解析が可能となり、線形順序によりすべてのファジィ数が比較可能になるため、より広範な問題に適用可能な一般化された積分形最適性条件が得られる。

ABSTRACT

Multi-variable nonlinear fuzzy optimization problem is considered under linear order relation on fuzzy numbers. Using gH-differentiability of a fuzzy-valued function $ ilde{f}$, new necessary and sufficient optimality conditions are proposed. The optimality conditions are obtained without putting additional conditions on fuzzy-valued functions like, convexity, quasi-convexity, pseudo-convexity. Optimum solution of the fuzzy optimization problem is obtained based on the optimality conditions. Illustrations and a case study are given to explain the numerical applications of the proposed results. Comparison of optimality conditions from existing literature is given.

研究の動機と目的

• Hukuhara微分可能性に起因する、微分可能なファジィ値関数のクラスの制限を解消すること。
• ファジィ最大値のような部分順序関係におけるファジィ数の比較不能性を克服すること。
• 特定のパラメータやα-レベルに依存しない最適性条件の開発。
• ファジィ最適化の適用範囲を非線形問題のより広いクラスに拡張すること。
• 未制約ファジィ最適化における局所的および大域的最小化点を求める一般枠組みの提供。

提案手法

• 一般化Hukuhara（gH）微分可能性を用いて、ファジィ値関数の微分可能性を定義し、Hukuhara微分可能性を超える範囲をカバーする。
• ファジィ数に線形順序関係を適用し、すべてのファジィ数が比較可能になるようにし、部分順序による比較不能性の問題を回避する。
• α ∈ [0,1] におけるα-レベル集合上で積分形の必要十分最適性条件を導出することで、離散的なα値に依存しないようにする。
• レベル関数の勾配およびヘッセ行列の積分を分析することにより、未制約多変数ファジィ最適化問題に最適性条件を適用する。
• 分解定理を用いてファジィ数をα-レベル集合で表現し、これらの区間上で加法やスカラー乗法などの演算を実行する。
• 数値例および事例研究を通じて結果を検証し、PathakとPirzada（2011）の例1における誤りを是正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸性やファジィ値関数に他の構造的制約を仮定しないで、非線形ファジィ最適化の最適性条件を導出可能か？
• RQ2 gH微分可能性は、Hukuhara微分可能性を超える微分可能なファジィ関数のクラスをどのように拡張できるか？
• RQ3 線形順序関係を用いて、すべてのファジィ数が比較可能になるようにし、一貫性のある最適化フレームワークを構築可能か？
• RQ4 特定のα-レベルやパラメータに依存しない最適性条件の形は何か？ これにより、より広範な適用性が得られるか？
• RQ5 Hukuhara微分可能性と部分順序に基づく従来の手法と比較して、提案された最適性条件は一般性および適用範囲においてどのように優位か？

主な発見

• 提案された最適性条件はα ∈ [0,1] における積分形であり、特定のα-レベルに依存せず、パrametric条件よりも一般性が高い。
• 与えられたファジィ値関数に対して、(x₁, x₂) = (173/26, 108/13) で臨界点が特定され、ヘッセ行列のテストにより厳密な局所的最大解として確認された。
• 表2で示されるように、gH微分可能な関数のクラスは、Hukuhara微分可能な関数のクラスよりも顕著に広く、sin(x) や e^x といった実数全体で定義される関数を含む。
• 線形順序関係により、ファジィ最大値順序など部分順序とは異なり、すべてのファジィ数が完全に比較可能になる。
• 最適性条件は、x₁ = x₂ = 0 における臨界点で下位および上位のレベル関数が微分可能でないようなファジィ値関数にも適用可能である。
• 本手法は、PathakとPirzada（2011）の例1における誤りを是正し、より高い正確性とロバストネスを示した。