[論文レビュー] Optimal Sorting with Persistent Comparison Errors

Barbara Geissmann, Stefano Leucci+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Algorithms and Data Compression被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、恒久的比較誤差を伴う整列において、高確率で最適な O(log n) の最大ずれと O(n) の総ずれを達成する最初の O(n log n) 時間アルゴリズムを提示する。本稿は、ほぼ整列済みの列における近似二分探索および同時挿入のための新規技術を導入し、従来の超線形時間の上限を克服するとともに、情報理論的下界に一致する。

ABSTRACT

We consider the problem of sorting $n$ elements in the case of \emph{persistent} comparison errors. In this model (Braverman and Mossel, SODA'08), each comparison between two elements can be wrong with some fixed (small) probability $p$, and \emph{comparisons cannot be repeated}. Sorting perfectly in this model is impossible, and the objective is to minimize the \emph{dislocation} of each element in the output sequence, that is, the difference between its true rank and its position. Existing lower bounds for this problem show that no algorithm can guarantee, with high probability, \emph{maximum dislocation} and \emph{total dislocation} better than $Ω(\log n)$ and $Ω(n)$, respectively, regardless of its running time. In this paper, we present the first \emph{$O(n\log n)$-time} sorting algorithm that guarantees both \emph{$O(\log n)$ maximum dislocation} and \emph{$O(n)$ total dislocation} with high probability. Besides improving over the previous state-of-the art algorithms -- the best known algorithm had running time $ ilde{O}(n^{3/2})$ -- our result indicates that comparison errors do not make the problem computationally more difficult: a sequence with the best possible dislocation can be obtained in $O(n\log n)$ time and, even without comparison errors, $Ω(n\log n)$ time is necessary to guarantee such dislocation bounds. In order to achieve this optimal result, we solve two sub-problems, and the respective methods have their own merits for further application. One is how to locate a position in which to insert an element in an almost-sorted sequence having $O(\log n)$ maximum dislocation in such a way that the dislocation of the resulting sequence will still be $O(\log n)$. The other is how to simultaneously insert $m$ elements into an almost sorted sequence of $m$ different elements, such that the resulting sequence of $2m$ elements remains almost sorted.

研究の動機と目的

• 恒久的比較誤差下での整列において、最適なずれの上限と達成可能な実行時間の間のギャップを埋める。
• 高確率で最適な最大ずれ O(log n) および最適な総ずれ O(n) を達成するアルゴリズムを設計する。
• 比較誤差が、比較ベースの整列の古典的 Ω(n log n) 下界を越えて計算複雑性を増加させないことを示す。
• 誤差のある比較下で、ほぼ整列済みの列における近似ランク計算および同時挿入のための効率的サブルーチンを開発する。

提案手法

• 最大ずれが O(log n) であるほぼ整列済みの列を生成するように変更されたマージソート、RiffleSort を使用する確率的アルゴリズムを設計する。
• 真のランクからの加法的誤差が O(max{d, log n}) 以内である近似探索手順を導入する。ここで d は列の最大ずれを表す。
• 比較の不一致数を数えるサンプリングに基づくアプローチを用いて候補ランクをテストし、チェルノフの不等式を用いて高確率での正しさを保証する。
• 不一致数を数える戦略を用いて、ほぼ整列済みの列に O(log n) 個の要素を同時に挿入し、最大ずれを O(log n) に維持する。
• 繰り返し、サイズ O(log n) の小さな部分集合を選択し、それらを再帰的にソートした後、元の列に再挿入する戦略を採用する。この際、ずれの上限を保つ。
• サブルーチンの成功確率をユニオンバウンドを用いて組み合わせ、全体としての高確率での正しさを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 恒久的比較誤差下で、O(n log n) 時間のアルゴリズムが、最適な最大ずれ O(log n) および最適な総ずれ O(n) を達成できるか？
• RQ2 最大ずれが O(log n) の範囲内に収まるように、恒久的誤差下で近似二分探索を実行できるか？
• RQ3 ほぼ整列済みの列に複数の要素を同時に挿入可能であり、O(log n) のずれの上限を維持できるか？
• RQ4 恒久的比較誤差の存在が、古典的 Ω(n log n) 下界を下回る時間計算量を整列問題に根本的に増加させるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、Braverman と Mossel が確立した情報理論的下界に一致する高確率での O(log n) の最大ずれと O(n) の総ずれを達成する。
• アルゴリズムの実行時間は O(n log n) であり、類似のずれの上限を達成するための従来の最良の時間計算量 Õ(n^{3/2}) よりも改善されている。
• O(log n) 個の要素を列に挿入した後も、最大ずれは O(log n) のまま維持され、ずれの増加は加法的 O(log n) 項に留まる。
• O(log n) 個の要素の挿入による総ずれの増加は O(log²n) に留まり、全体の O(n) の上限に対しては無視できる。
• アルゴリズムの成功確率は 1 − 1/n 以上であり、ユニオンバウンドを用いて高確率サブルーチンを組み合わせることで達成される。
• 結果から、恒久的比較誤差が整列問題の計算的難易度を標準的な比較ベースの整列より高めるわけではないことが示され、最適な時間計算量 O(n log n) が維持される。