[論文レビュー] Optimal stochastic control and optimal consumption and portfolio with G-Brownian motion

Weiyin Fei, Chen Fei|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、G・ブラウン運動と非線形期待値理論を用いてモデルの不確実性下での最適確率制御フレームワークを構築する。最適消費およびポートフォリオ意思決定の検証定理を確立し、ボラティリティの不確実性下でのハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を導出し、修正された2ファンド分離定理を証明する。リスク回避的投資家は、不確実性が高まるほどリスク資産への投資割合を減少させることを示している。

ABSTRACT

By the calculus of Peng's G-sublinear expectation and G-Brownian motion on a sublinear expectation space $(Ω, {\cal H}, \hat{\mathbb{E}})$, we first set up an optimality principle of stochastic control problem. Then we investigate an optimal consumption and portfolio decision with a volatility ambiguity by the derived verification theorem. Next the two-fund separation theorem is explicitly obtained. And an illustrative example is provided.

研究の動機と目的

• G・ブラウン運動を用いて、キーニアン不確実性下での最適確率制御の原理的枠組みを確立すること。
• ボラティリティが不確実な状況における最適消費およびポートフォリオ意思決定をモデル化し、現実の金融市場における不確実性を反映すること。
• 非線形期待値およびG確率微分方程式下での最適方策の検証定理を導出すること。
• 不確実性下での非線形期待値およびG・ブラウン運動下での修正された2ファンド分離定理を証明し、古典的ポートフォリオ理論を拡張すること。
• 不確実性が高まるにつれてリスク資産への露出を減らす傾向を示す、具体的な例を提示すること。

提案手法

• PengのG非線形期待値の微積分を、非線形期待値空間 $(\Omega, \mathcal{H}, \hat{\mathbb{E}})$ 上に適用してモデル不確実性をモデル化する。
• G確率微分方程式（SDE）をG・ブラウン運動によって駆動させ、ボラティリティの不確実性下での資産価格の動態を表現する。
• 動的プログラミングを用いて、G・イト計算を組み込んだHJB方程式を価値関数に関して導出する。
• 制御された拡散過程の無限小生成作用素を表すために、演算子 $\mathbb{L}_G(\pi,c)\psi(t,x)$ を導入する。
• 検証定理を確立：HJB方程式におけるハミルトニアンを最大化する候補方策 $\hat{u} = (\hat{\pi}, \hat{c})$ が存在する場合、その方策は最適であり、$\mathbb{V}(t,x) = \psi(t,x)$ が成り立つ。
• 最適性の原理を再帰的形で適用し、時刻 $t$ における価値関数を後続時刻 $\bar{t}$ における期待値と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G・ブラウン運動を用いて、モデル不確実性下での最適確率制御をどのように定式化できるか？
• RQ2 ボラティリティが不確実な状況下での最適消費およびポートフォリオ選択のHJB方程式の構造は何か？
• RQ3 非線形期待値およびG・ブラウン運動下での2ファンド分離定理はどのように変化するか？
• RQ4 不確実性が最適投資行動に与える影響、特に悲観的投資家にどのような影響を与えるか？
• RQ5 G期待値下での最適制御における検証定理は、古典的確率的制御とどのように異なるか？

主な発見

• 不確実性下での最適消費およびポートフォリオのHJB方程式は、$\sup_{c \geq 0, \pi \in \mathbb{R}^d} \left[ \mathbb{L}_G(\pi,c)\psi(t,x) + U_1(c) \right] = 0$ として導出され、端末条件は $\psi(T,x) = U_2(x)$ である。
• 検証定理が証明された：HJB方程式におけるハミルトニアンを最大化する方策 $\hat{u} = (\hat{\pi}, \hat{c})$ が存在する場合、その方策は最適であり、$\mathbb{V}(t,x) = \psi(t,x)$ が成り立つ。
• 修正された2ファンド分離定理が明示的に得られ、不確実性下でも最適ポートフォリオが無リスク資産とリスク資産のファンドに分解可能であることが示された。
• 具体的な例により、悲観的投資家において、不確実性が高まるほどリスク資産への投資が減少することが確認された。
• G・ブラウン運動と非線形期待値を用いることで、古典的最適制御をボラティリティの不確実性を組み込む形で拡張し、行動ファイナンスの新たな視点を提供した。
• G期待値項の存在により、古典的確率的制御（例：YongとZhou [44]）とは異なり、動的システムにモデル不確実性が反映されている。