[論文レビュー] Optimal Stopping for Dynamic Convex Risk Measures

Erhan Bayraktar, Ioannis Karatzas+1 more|ArXiv.org|Sep 27, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、動的凸リスク測度下での連続時間最適停止問題に対して、後向き確率微分方程式（RBSDE）およびBMO martingaleを用いて、停止者とコントローラーの間のロバストなゼロサムゲームにおける鞍点を構成することで、最小最大結果を確立する。主な貢献は、貼り合わせに関して閉じていない確率測度の集合に対しても、キーニアン・アンチセキュリティ下でリスクを最小化する最適停止時刻の存在を証明することにある。

ABSTRACT

We use martingale and stochastic analysis techniques to study a continuous-time optimal stopping problem, in which the decision maker uses a dynamic convex risk measure to evaluate future rewards. We also find a saddle point for an equivalent zero-sum game of control and stopping, between an agent (the "stopper") who chooses the termination time of the game, and an agent (the "controller", or "nature") who selects the probability measure.

研究の動機と目的

• 期待値ではなく動的凸リスク測度を用いて評価される報酬の連続時間最適停止問題を解くこと。
• キーニアン・アンチセキュリティ下でのロバスト性を確保するため、確率測度を選択する停止者とコントローラーの間のゼロサム確率ゲームとして問題を定式化すること。
• 最適停止と測度選択の均衡を保証するため、ゲームに鞍点を構成すること。
• 貼り合わせに関して閉じていないこと、および確率測度集合におけるドリフトの有界性の欠如に起因する技術的困難を、局所化および近似技術を用いて克服すること。
• リスク測度評価における本質的下界を達成する最適停止時刻の存在を証明すること。

提案手法

• 凸リスク測度の双対表現に基づき、ペナルティ関数fを伴う同値確率測度の上での上界としての動的凸リスク測度の表現を用いる。
• 比較定理および2次生成子構造を活用して、価値過程をモデル化するための反射付き後向き確率微分方程式（RBSDE）を適用する。
• コンパクト性仮定を回避するため、BMO martingale技術を用いてドリフト過程の無限大性に対処する。
• 切断および局所化を用いて価値過程を近似し、積分可能性制約下での解を構成する。
• 測度の上での期待報酬とペナルティ項の本質的上界-下界と下界-上界の間の最小最大等式を確立する。
• ゲームにおける均衡条件を満たす特定の測度Q*および停止時刻τ*を同定することで、鞍点（Q*, τ*）を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 貼り合わせに関して閉じていない確率測度の集合に対しても、連続時間における動的凸リスク測度下で最適停止時刻を特徴づけることは可能か？
• RQ2 このロバストな枠組み下で、停止者の問題の価値とコントローラーの問題の価値の間で最小最大等式が成立するか？
• RQ3 ペナルティ関数fが凸であり、ドリフト過程が無限大である場合に、制御と停止のゼロサムゲームにおいて鞍点を構成できるか？
• RQ4 標準的なコンパクト性または有界性仮定が成立しない場合、価値過程はどのように表現され、近似可能か？
• RQ5 RBSDEおよびBMO martingaleは、凸リスク評価下での最適停止ルールの存在性と正規性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 最小最大等式が確立された：リスク測度下での最適停止問題の価値は、対応するロバスト制御-停止ゲームの価値に等しい。
• 最適停止時刻τ*(ν)は、価値過程V^0,νが報酬過程Yに初めて到達する時刻として構成され、リスク測度下での本質的下界を達成する。
• 価値過程V^0,νは右連続で左極限を持つ（RCLL）修正を許容し、正規性と可測性を保証する。
• 停止者の最適戦略がτ*で停止すること、コントローラーの最適測度がQ*であることにより、均衡を達成する鞍点（Q*, τ*）が構成された。
• ドリフト過程の無限大性に対しても解はロバストであり、Radon-Nikodym導関数の有界性を仮定せず、先行研究の制限を克服した。
• 価値関数V(ν)は2次反射付き後向き確率微分方程式（QRBSDE）を満たし、リスク測度と確率的制御理論を結びつける。