[論文レビュー] Optimal stopping in mean field games, an obstacle problem approach

C. Bertucci|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平均場ゲーム（MFG）における最適停止問題を解くために、混合解の概念を導入する。障害問題の枠組みを用いて、混合戦略におけるナッシュ均衡をモデル化する。定常的および時間に依存する設定の両方において、一般の仮定の下で解の存在と一意性を確立し、MFGにおける退出意思決定を伴う場合の厳密な解析的基盤を提供する。

ABSTRACT

This paper is interested in the problem of optimal stopping in a mean field game context. The notion of mixed solution is introduced to solve the system of partial differential equations which models this kind of problem. This notion emphasizes the fact that Nash equilibria of the game are in mixed strategies. Existence and uniqueness of such solutions are proved under general assumptions for both stationary and evolutive problems.

研究の動機と目的

• 最適停止を伴う平均場ゲームにおける自然な解概念の欠如に応えること、特にプレイヤーがコストを支払ってゲームを退出する可能性がある状況を想定する。
• 現実的なプレイヤーの退出行動を反映する混合戦略におけるナッシュ均衡を捉える数学的枠組みを構築すること。
• 古典的MFG系を、前向き・後ろ向きの障害問題構造を用いて、最適停止を組み込む形に拡張すること。
• 定常的および時間発展型MFG系における最適停止を伴う解の存在と一意性を証明すること。
• この系に変分的および最適制御的解釈を提供し、凸最適化問題と関連付けること。

提案手法

• プレイヤーが退出時刻を確率的に選択する状況をモデル化するための「混合解」の概念を導入する。
• 価値関数に対する障害問題を含む前向き・後ろ向き偏微分方程式系として問題をモデル化する。
• 非滑らか性を扱うために、max演算子の正則化のためのパrameter ε を導入したペナルティ近似法を用いる。
• 部分積分と弱収束の議論を適用して、ペナルティ近似系における極限を取ることで、混合解の弱形式を得る。
• Fenchel共役を用いた双対性の議論により、制御理論的枠組みにおいてこの系を凸最適化問題として解釈する。
• 解の一意性を保証するため、ハミルトニアンおよびコスト関数に対して単調性および凸性の仮定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適停止を伴う平均場ゲームにおける適切な解概念とは何か、特にプレイヤーがゲームを退出する可能性がある状況において。
• RQ2 一般の仮定の下で、前向き・後ろ向きの障害問題系をどのように厳密に解けるか。
• RQ3 このMFG枠組みにおける混合戦略均衡の存在と一意性を保証する条件は何か。
• RQ4 最適制御的解釈がMFG系と凸最適化問題をどのように結びつけるか。
• RQ5 障害問題が価値関数および最適退出時刻の特徴づけにおいて果たす役割は何か。

主な発見

• 本稿は、一般の仮定の下で、定常的および時間に依存する最適停止を伴う平均場ゲームにおける混合解の存在を証明する。
• コスト関数 f が厳密に単調である場合、混合解の一意性が保証され、一意な均衡が得られる。
• 解概念は解析的に自然であり、MFGにおける最適停止の確率的解釈と整合的である。
• この系は、ハミルトニアンのFenchel共役を含む凸最適化問題と等価であり、厳密凸性のもとで一意な最小化子が存在することが示された。
• ペナルティ近似スキームは弱解に収束し、極限は分布的意味で系を満たす。
• 解析により、価値関数が障害方程式を満たすことが確認され、測度はドリフト項に符号制約を課した輸送方程式に従って変化する。