[論文レビュー] Optimal stopping of a risk process when claims are covered immediately

Bogdan K. Muciek, Krzysztof Szajowski|ArXiv.org|Dec 19, 2008

Probability and Risk Models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、支払いが即時に行われるリスク過程における最適停止問題を定式化し、金利、インフレ、および投資収益への即時支払いの影響を組み込み、動的計画法と区分的決定的過程を用いて、有限および無限の請求期間における最適停止時刻を導出する。解は、投資収益、請求支払いタイミング、および請求額のダイナミクスの間の相乗作用に強く依存していることが示された。

ABSTRACT

The optimal stopping problem for the risk process with interests rates and when claims are covered immediately is considered. An insurance company receives premiums and pays out claims which have occured according to a renewal process and which have been recognized by them. The capital of the company is invested at interest rate $α\in\Re^{+}$, the size of claims increase at rate $β\in\Re^{+}$ according to inflation process. The immediate payment of claims decreases the company investment by rate $α_1$. The aim is to find the stopping time which maximizes the capital of the company. The improvement to the known models by taking into account different scheme of claims payment and the possibility of rejection of the request by the insurance company is made. It leads to essentially new risk process and the solution of optimal stopping problem is different.

研究の動機と目的

• 請求が即時に行われる保険リスク過程をモデル化し、一般の資本収益とは異なるレートで投資成長に影響を与えること。
• 集合的リスク理論における既存の最適停止モデルを、インフレ、即時請求支払い、およびベルヌーイ分布に従う $\varepsilon_n$ を用いた請求拒否の可能性を組み込むことで拡張すること。
• 有限および無限の時間枠において、会社の資本の期待効用を最大化する最適停止時刻を導出すること。
• 停止時刻の空間における動的計画法および収縮写像を用いて、最適停止時刻の存在と特徴付けを確立すること。
• 即時請求支払いの解が、遅延または請求なしのモデルの直接的拡張ではないこと、したがって新たな解析的手法が不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 資本成長率 $\alpha$、保険料収入率 $c$、および請求支払い $X_n e^{\beta T_n} e^{\alpha_1 (t - T_n)}$ を伴う区分的決定的過程としてリスク過程 $U_t$ を定式化する。
• 効用関数 $g(U_t, t_0 - t)$ を導入し、リターン過程 $Z(t) = g(U_t) \mathbf{1}_{\{U_s > 0, \, \forall s \leq t\}}$ を定義する。
• 条件付き期待値を用いて定義される演算子 $\Phi$ を用いて、有限および無限の時間枠における最適停止問題を動的計画法で解く。
• プロセス $\eta_t = (t, U_t, Y_t, V_t)$ の強い生成子 $A$ を用いて、プロセスの無限小生成子を特徴付け、動的計画方程式を導出する。
• 間隔時間の確率が正であるという仮定に基づき、演算子 $\Phi$ における収縮写像を用いて最適停止時刻の存在を確立する。
• 請求間隔時間の密度 $f$、生存関数 $\bar{F}$、請求額分布 $H$ を含み、請求拒否確率 $p$ および請求額の影響を組み込んだ、強い生成子 $A\tilde{g}$ の明示的形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的請求および金利を伴うリスク過程において、即時請求支払いは最適停止時刻にどのように影響を与えるか？
• RQ2 請求が即時に行われ、会社の資本が請求支払いレートとは異なるレートで投資される場合、最適停止時刻の構造はどのようになるか？
• RQ3 ベルヌーイ分布に従う $\epsilon_n$ を用いた請求拒否およびインフレ $\beta$ の組み込みは、標準モデルと比較してリスク過程および最適停止戦略をどのように変化させるか？
• RQ4 無限時間枠リスク過程における最適停止問題は、有限時間枠解の極限として解けるか？収束を保証する条件は何か？
• RQ5 強い生成子は、ランダムなジャンプを伴う区分的決定的リスク過程における最適停止時刻の特徴付けに果たす役割は何か？

主な発見

• 無限時間枠問題の最適停止時刻 $\tau^*$ は存在し、$K \to \infty$ のとき、有限時間枠の最適停止時刻 $\tau^*_{n,K}$ のほとんど確実な極限として表される。
• 有限時間枠問題の解は、間隔時間が $t_0$ を超える確率が正であるという仮定の下で、収縮性を示す動的計画法演算子 $\Phi$ によって特徴付けられる。
• プロセス $\eta_t$ の強い生成子 $A\tilde{g}$ は、明示的に導出され、請求額、請求拒否確率 $p$、インフレ $\beta$、および投資レート $\alpha$、$\alpha_1$ の影響を組み込んでいる。
• $n$ 番目の請求における最適停止時刻 $\tilde{\tau}_n$ は、$\mathbb{E}[Z(\tilde{\tau}_n) \mid \mathcal{F}_n] = \mu_n \gamma(U_{T_n}, T_n)$ a.s. を満たす。ここで $\mu_n$ は時刻 $T_n$ における価値関数である。
• 即時請求支払いを組み込んだモデルは、遅延または請求なしのモデルとは根本的に異なるリスク過程および解を生じさせ、$\alpha_1$ および請求拒否メカニズムへの非自明な依存性によって示された。
• Ferenstein & Sierociński (1997)、Muciek (2002)、Yasuda (1984)、Schöttl (1998) の先行研究とは、請求支払いタイミングの独自構造および資本ダイナミクスへのその影響のため、直接の帰結ではない。