[論文レビュー] Optimal stopping of Hunt and Lévy processes

Ernesto Mordecki, Paavo Salminen|ArXiv.org|May 2, 2006

Probability and Risk Models被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、グリーン核と過剰関数論を用いて、ハンとレヴィ過程における最適停止問題のスペクトル表現を開発する。主な結果は、最適停止境界がスペクトル測度の台に一致することを示しており、レヴィ過程の場合、ウィーナー＝ホフ因数分解を用いて最大過程の観点から解が明示的に表現可能であり、指数的ジャンプを伴うブラウン運動や正の指数的ジャンプと負のドリフトを伴う複合ポアソン過程といった問題に対し、明示的解が得られる。

ABSTRACT

The optimal stopping problem for a Hunt processes on $\R$ is considered via the representation theory of excessive functions. In particular, we focus on infinite horizon (or perpetual) problems with one-sided structure, that is, there exists a point $x^*$ such that the stopping region is of the form $[x^*,+\infty)$. Corresponding results for two-sided problems are also indicated. The main result is a spectral representation of the value function in terms of the Green kernel of the process. Specializing in Lévy processes, we obtain, by applying the Wiener-Hopf factorization, a general representation of the value function in terms of the maximum of the Lévy process. To illustrate the results, an explicit expression for the Green kernel of Brownian motion with exponential jumps is computed and some optimal stopping problems for Poisson process with positive exponential jumps and negative drift are solved.

研究の動機と目的

• 過剰関数論とスペクトル表現を用いて、ハン過程に対する無限時間枠の最適停止問題の価値関数を特徴づけること。
• グリーン核表現から導かれるスペクトル測度の台と停止領域との間の関係を確立すること。
• ウィーナー＝ホフ因数分解を適用することで、レヴィ過程にこの枠組みを拡張し、価値関数を最大過程の観点から表現すること。
• 指数的ジャンプを伴うブラウン運動および正の指数的ジャンプと負のドリフトを伴う複合ポアソン過程に対する明示的最適停止問題を解くこと。
• さまざまなパrameter設定下での最適停止境界の数値的解法および漸近的挙動を提供すること。

提案手法

• 過剰関数理論とリエス分解を活用し、報酬関数の最小過剰上界として価値関数を表現すること。
• ハント過程のグリーン核を用いて、価値関数をスペクトル測度に関する積分として表現し、停止領域をこの測度の台として特定すること。
• レヴィ過程の場合、指数時間における過程の分解を、最大値と最小値の成分に分けるためにウィーナー＝ホフ因数分解を適用すること。
• 特に片側問題において、最大過程の分布に基づいた価値関数の一般表現を導出すること。
• ジャンプ付きブラウン運動のグリーン核を明示的に計算し、閉形式での最適停止問題の解を得ること。
• 負のドリフトと正の指数的ジャンプを伴う複合ポアソン過程の最適停止問題を、報酬関数 $ g(x) = (x^+)^\gamma $, $ \gamma \geq 1 $ を用いて解くこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハント過程の最適停止問題の価値関数は、グリーン核とスペクトル測度を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 片側問題において、スペクトル測度の台と最適停止領域の関係は何か？
• RQ3 ウィーナー＝ホフ因数分解は、レヴィ過程の最大過程に基づいた価値関数の表現をどのように可能にするか？
• RQ4 指数的ジャンプを伴うブラウン運動の最適停止境界の明示的形は何か？
• RQ5 報酬関数 $ (x^+)^\gamma $ の下で、正の指数的ジャンプと負のドリフトを伴う複合ポアソン過程の最適停止境界はどのように振る舞うか？

主な発見

• 報酬関数 $ g(x) = (x^+)^\gamma $ を持つ複合ポアソン過程の最適停止境界 $ x^*_{\gamma} $ は、方程式 $ x^\gamma = (\alpha - \rho) e^{\alpha x} \int_x^\infty e^{-\alpha z} z^\gamma dz $ の一意的解として与えられ、これはグリーン核とスペクトル測度表現から導出される。
• $ \rho \ll \alpha $ の場合、最適境界 $ x^*_{\gamma} \approx \gamma / \rho $ となり、ドリフトと報酬指数の漸近的挙動と整合的であることが示される。
• 価値関数は連続的であり、$ x < x^*_{\gamma} $ に対して $ V(x) = e^{\rho(x - x^*_{\gamma})} (x^*_{\gamma})^\gamma $ を満たす。これは滑らかさと適切な境界挙動を確認する。
• 滑らかさ適合条件は $ x^*_{\gamma} $ で成立しない。実際、$ V'(x^*_{\gamma}-) = \rho (x^*_{\gamma})^\gamma $ であるのに対し、$ g'(x^*_{\gamma}) = \gamma (x^*_{\gamma})^{\gamma-1} $ であるため、境界でコーナーが存在することが示される。
• 数値的結果から、$ x^*_{\gamma} < \gamma / \rho $ であり、$ \gamma $ が大きくなるほど差が拡大することが判明。また、$ x^o_{\gamma} = \varphi(\gamma - 1) $ は下界を提供する。
• ジャンプ付きブラウン運動のグリーン核が明示的に計算され、スペクトル測度および価値関数の閉形式表現が得られた。