[論文レビュー] Optimal stopping problems for a Brownian motion with a disorder on a finite interval

Albert N. Shiryaev, Mikhail Zhitlukhin|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、有限時間区間におけるブラウン運動および幾何ブラウン運動の最適停止問題を、不確実な時刻にドリフトが正から負に変化する「不正」を伴って解いている。測度の変更とシルヤエフ＝ロバーツ統計量を用い、最適停止時刻をマコフ過程の時刻に依存する境界への最初の到達時刻として特徴づけ、ボルテラ積分方程式によって記述される。主な結果として、リスク中立的およびリスク回避的投資家が資産清算のタイミングにおいて異なる行動を示すことが示された。

ABSTRACT

We consider optimal stopping problems for a Brownian motion and a geometric Brownian motion with a "disorder", assuming that the moment of a disorder is uniformly distributed on a finite interval. Optimal stopping rules are found as the first hitting times of some Markov process (the Shiryaev-Roberts statistic) to time-dependent boundaries, which are characterized by certain Volterra integral equations. The problems considered are related to mathematical finance and can be applied in questions of choosing the optimal time to sell an asset with changing trend.

研究の動機と目的

• ドリフトが不確実な時刻に変化する線形または幾何ブラウン運動の期待値を最大化する最適停止時刻を特定すること。
• 不正の時刻を有限区間上で一様分布と仮定し、金融バブルにおけるベイズ的不確実性を反映すること。
• 最適停止ルールをマコフ過程（シルヤエフ＝ロバーツ統計量）の時刻に依存する境界への最初の到達時刻として導出すること。
• 測度の変更の下で、境界をボルテラ積分方程式によって特徴づけること。
• 不正の下でのリスク中立的およびリスク回避的投資家の資産清算における行動の違いを比較すること。

提案手法

• 元の確率測度を、尤度過程が拡散過程となるウィENER測度に変更する。
• 不正検出の十分統計量としてシルヤエフ＝ロバーツ統計量を適用し、問題をマコフ的最適停止フレームワークに還元する。
• 新しい測度の下で、事後確率過程 ψ_t の動的特性を、ドリフトおよびボラティリティパラメータを含む確率微分方程式で導出する。
• 最適境界 a(t) を最適性条件から導かれるボルテラ積分方程式の解として特徴づける。
• フェインマン＝カックの公式と伊藤の補題を用いて、新しい測度の下での期待利益の明示的表現を導出する。
• 先行研究（参考文献[10]）の命題を適用し、最適停止時刻が ψ_t が時刻に依存する境界 a(t) に最初に到達する時刻であることを確立する（Tで打ち切られる）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不正の時刻が有限区間上で一様分布である場合、不正を伴うブラウン運動の最適停止時刻は何か？
• RQ2 リスク中立的（E[S_τ]を最大化）とリスク回避的（E[X_τ]を最大化）投資家との間で、最適停止ルールはどのように異なるか？
• RQ3 最適停止時刻は、マコフ過程が時刻に依存する境界に最初に到達する時刻として表現可能か？
• RQ4 有限時間枠組み下で、最適境界を特徴づける積分方程式は何か？
• RQ5 不正の時刻の分布は、金融バブルにおける最適清算タイミングにどのように影響するか？

主な発見

• 線形ブラウン運動問題の最適停止時刻は、時刻に依存する境界 a(t) にシルヤエフ＝ロバーツ統計量が最初に到達する時刻であり、a(t) はボルテラ積分方程式の解として与えられる。
• 幾何ブラウン運動の場合、最適停止時刻も同様に、同じ統計量が時刻に依存する境界に最初に到達する時刻として特徴づけられ、境界は測度の変更により導出される。
• リスク中立的トレーダー（E[S_τ]を最大化）は、P(θ < T) = 1 である限り、確率1で時刻 T より前に売却する。
• リスク回避的トレーダー（E[X_τ]を最大化）は、同じ条件下でも、正の確率で時刻 T まで待つ可能性がある（P(τ_*^{(l)} = T) > 0）。
• 価値関数 V^{(l)} および V^{(g)} は、過程 ψ_t と時刻に依存する境界を含む期待値として、伊藤の公式と測度の変更を用いて導出される。
• 境界関数 a(t) は区間 [0,T] 上で連続的かつ非増加であり、最適停止ルールの最適性を保証するボルテラ積分方程式を満たす。