[論文レビュー] Optimal Stopping under Nonlinear Expectation

Ibrahim Ekren, Nizar Touzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、非線形期待における最適停止問題に対して、非線形スネル包絡の特徴付けを確立し、それが ${\cal E}$-下 martingale であり、障害物への最初の到達時まで ${\cal E}$-martingale であることを証明する。主な貢献は、非線形期待枠組みにおいて劣微分収束定理が成立しないという問題を克服するための、擬連続近似を用いた新規な極限議論であり、古典的最適停止理論を非支配的、特異測度へと拡張可能にする。

ABSTRACT

Let $X$ be a bounded càdlàg process with positive jumps defined on the canonical space of continuous paths. We consider the problem of optimal stopping the process $X$ under a nonlinear expectation operator $\cE$ defined as the supremum of expectations over a weakly compact family of nondominated measures. We introduce the corresponding nonlinear Snell envelope. Our main objective is to extend the Snell envelope characterization to the present context. Namely, we prove that the nonlinear Snell envelope is an $\cE-$supermartingale, and an $\cE-$martingale up to its first hitting time of the obstacle $X$. This result is obtained under an additional uniform continuity property of $X$. We also extend the result in the context of a random horizon optimal stopping problem. This result is crucial for the newly developed theory of viscosity solutions of path-dependent PDEs as introduced in Ekren et al., in the semilinear case, and extended to the fully nonlinear case in the accompanying papers (Ekren, Touzi, and Zhang, parts I and II).

研究の動機と目的

• 非支配的特異測度の族を伴う非線形期待における最適停止問題に、古典的スネル包絡の特徴付けを拡張すること。
• 非線形スネル包絡が、障害物 $X$ への最初の到達時まで ${\cal E}$-下 martingale であり、${\cal E}$-martingale であることを確立すること。
• 非線形期待枠組みにおいて劣微分収束定理が失敗する状況を克服するため、停止時刻の列に対して擬連続近似を構築すること。
• 非線形完全なパス依存型PDEの粘性解理論を支援するため、完全非線形ケースにおける確率的基礎を提供すること。

提案手法

• 弱コンpactな族 $\mathcal{P}$ における非支配的特異測度の上での非線形期待 ${\cal E}[\cdot] := \sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[\cdot]$ を定義する。
• 非線形スネル包絡 $Y$ を、$X_{\tau \wedge \textsc{h}}$ を支配する最小の ${\cal E}$-下 martingale として定義する。
• 非線形期待に適応した動的計画法を用いて、${\cal E}$-下 martingale 性質を証明する。
• 擬連続関数の単調収束定理（Denis, Hu, and Peng [3] より）を用いて、$[0, \tau^*]$ 上での ${\cal E}$-martingale 性質を、減少列 $Y_{\tau_n}$ における極限議論により確立する。
• $Y_{\tau_n}$ の擬連続近似を構築し、非線形枠組みでは劣微分収束定理が成立しないにもかかわらず、単調収束定理を適用可能にする。
• $\mathcal{P}$ の弱コンパクト性を用いて期待値の収束を保証し、繰り返し停止時刻の構成における誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的スネル包絡の特徴付けを、非支配的測度を伴う非線形期待における最適停止問題へ拡張することは可能か？
• RQ2 劣微分収束定理が失敗する状況において、$[0, \tau^*]$ 上での ${\cal E}$-martingale 性質はどのように確立できるか？
• RQ3 非線形期待の下で収束議論を可能にするために、擬連続近似はどのような役割を果たすか？
• RQ4 過程 $X$ の一様連続性は、滑らかさが欠如する状況において、正規値過程の構築をどのように容易にするか？
• RQ5 非線形スネル包絡とパス依存型PDEの粘性解理論との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 非線形スネル包絡 $Y$ は ${\cal E}$-下 martingale であり、古典的結果を非線形期待枠組みへ一般化する。
• 非線形スネル包絡 $Y$ は、障害物 $X$ への最初の到達時 $\tau^*$ まで ${\cal E}$-martingale であり、$\tau^*$ の最適性を保証する。
• 劣微分収束定理の失敗は、$Y_{\tau_n}$ の擬連続近似の構築により克服され、単調収束定理の適用が可能になる。
• 証明は、誤差項の制御と期待値の収束を保証するため、族 $\mathcal{P}$ の弱コンパクト性に強く依存している。
• この結果は、完全非線形パス依存型PDEの粘性解理論に対する確率的基盤を提供し、従来の半線形ケースの研究を拡張する。
• 誤差項を制御した停止時刻 $\tau^n$ の反復的構成により、$\mathbb{E}^{\mathbb{P}^0}[\widehat{Y}_{\tau^0}] \leq \mathbb{E}^{\mathbb{P}^m}[\widehat{Y}_{\tau^m} \mathbf{1}_{D_m} + \widehat{Y}_{\widehat{\tau}^*} \mathbf{1}_{D_m^c}] + C\bar{\rho}_0(3\delta) + 4\varepsilon$ が得られ、これは極限において所望の不等式を意味する。