[論文レビュー] Optimal stopping under probability distortions and law invariant coherent risk measures

Denis Belomestny, Volker Kraetschmer|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、リスク回避的意思決定において一般的な歪んだ期待に関する最適停止問題を、動的計画法が適用可能な標準的最適停止問題の系列に変換する、新しい表現を提案する。主な貢献は、時間的一致性を回復するプライマル表現であり、Kusuokaの表現を用いて、AVaR や絶対半分散といった法則に依存する一貫性のあるリスク測度へ拡張可能であり、経験的妥当性を伴うモンテカルロアルゴリズムの実装を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we study optimal stopping problems with respect to distorted expectations of the form \begin{eqnarray*} \mathcal{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,dG(F_X(x)), \end{eqnarray*} where $F_X$ is the distribution function of $X$ and $G$ is a convex distribution function on $[0,1].$ As a matter of fact, except for $G$ being the identity on $[0,1],$ dynamic versions of $\mathcal{E}(X)$ do not have the so-called time-consistency property necessary for the dynamic programming approach. So the standard approaches are not applicable to optimal stopping under $\mathcal{E}(X).$ In this paper, we prove a novel representation, which relates the solution of an optimal stopping problem under distorted expectation to the sequence of standard optimal stopping problems and hence makes the application of the standard dynamic programming-based approaches possible. Furthermore, by means of the well known Kusuoka representation, we extend our results to optimal stopping under general law invariant coherent risk measures. Finally, based on our novel representations, we develop several Monte Carlo approximation algorithms and illustrate their power for optimal stopping under Average Value at Risk and the absolute semideviation risk measures.

研究の動機と目的

• 歪んだ期待の下での最適停止における時間的一致性の欠如が、標準的動的計画法の適用を無効としているという問題に対処すること。
• 歪んだ期待問題と標準的最適停止問題を結びつける、時間的一致性を回復する新しい表現を確立すること。
• Kusuokaの表現を用いて、歪み関数から一般の法則に依存する一貫性のあるリスク測度へ枠組みを拡張すること。
• 平均値の下側リスク（AVaR）や絶対半分散といったリスク測度の下で、実用的な計算を可能とするモンテカルロアルゴリズムを開発すること。
• AVaR および絶対半分散リスク測度における数値実験を通じた経験的妥当性の検証すること。

提案手法

• 歪んだ期待関数を標準的最適停止問題の系列に再定式化するプライマル表現を導入し、時間的一致性の欠如を回避する。
• Kusuokaの表現を用いて、歪み関数から一般の法則に依存する一貫性のあるリスク測度への結果の拡張を実現する。
• 確率的停止時刻およびスリム集合を用いて、新しい表現下での最適停止時刻の特徴づけを行う。
• 理論的基盤を強化し、数値近似を可能にするために加法的双対表現を導出する。
• 経験的分布関数および重要度サンプリング技術を用いて、プライマル表現に基づくモンテカルロアルゴリズムを開発する。
• AVaR および絶対半分散における数値実験を通じて、アプローチの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪んだ期待の下での最適停止問題は、時間的一致性を回復する形に再定式化可能であり、動的計画法の適用が可能になるか？
• RQ2 歪んだ期待のプライマル表現は、一般の法則に依存する一貫性のあるリスク測度へどのように拡張可能か？
• RQ3 このようなリスク測度下での最適停止時刻の構造は何か？ そして、その効率的な計算方法は何か？
• RQ4 AVaR や絶対半分散の下で、モンテカルロ法が最適停止時刻の計算に効果的に適用可能か？
• RQ5 提案されたアルゴリズムの収束性および実用的状況下での数値的性能はいかがなものか？

主な発見

• 歪んだ期待の下での最適停止問題を、標準的最適停止問題の系列に変換する、時間的一致性を回復する新しいプライマル表現が導出された。
• この表現により、時間的一致性の欠如により従来は取り扱いが困難であった問題に対しても、動的計画法の適用が可能になった。
• Kusuokaの表現を用いることで、一般の法則に依存する一貫性のあるリスク測度へ枠組みを拡張でき、広範な適用可能性が保証された。
• プライマル表現に基づくモンテカルロアルゴリズムは収束を示し、AVaR および絶対半分散リスク測度において優れた性能を発揮した。
• 数値的結果により、複雑なリスク測度下でも最適停止時刻の精度の高い近似が可能であることが確認された。
• 本手法により、確率的停止時刻およびスリム集合を用いた、取り扱い可能な形での最適停止方策の特徴づけが可能になった。