[論文レビュー] Optimal Strategies of Blotto Games: Beyond Convexity

Soheil Behnezhad, Avrim Blum+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Merger and Competition Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、保証された期待報酬を最大化するという目的と、最小報酬閾値を達成する確率を最大化するという目的の両方において、多項式時間近似スキームを提示する。非凸な解空間を多項式個の凸ポリトープに分割することで、著者たちは従来の凸プログラミングの制限を克服し、一般コロンエル・ブロットゲームが指数時間完全であることを示す初めての複雑性結果を確立する。

ABSTRACT

The Colonel Blotto game, first introduced by Borel in 1921, is a well-studied game theory classic. Two colonels each have a pool of troops that they divide simultaneously among a set of battlefields. The winner of each battlefield is the colonel who puts more troops in it and the overall utility of each colonel is the sum of weights of the battlefields that s/he wins. Over the past century, the Colonel Blotto game has found applications in many different forms of competition from advertisements to politics to sports. Two main objectives have been proposed for this game in the literature: (i) maximizing the guaranteed expected payoff, and (ii) maximizing the probability of obtaining a minimum payoff $u$. The former corresponds to the conventional utility maximization and the latter concerns scenarios such as elections where the candidates' goal is to maximize the probability of getting at least half of the votes (rather than the expected number of votes). In this paper, we consider both of these objectives and show how it is possible to obtain (almost) optimal solutions that have few strategies in their support. One of the main technical challenges in obtaining bounded support strategies for the Colonel Blotto game is that the solution space becomes non-convex. This prevents us from using convex programming techniques in finding optimal strategies which are essentially the main tools that are used in the literature. However, we show through a set of structural results that the solution space can, interestingly, be partitioned into polynomially many disjoint convex polytopes that can be considered independently. Coupled with a number of other combinatorial observations, this leads to polynomial time approximation schemes for both of the aforementioned objectives.

研究の動機と目的

• 非凸な解空間の課題に対処し、サポートが有界なコロンエル・ブロットゲームにおける近似的最適戦略を計算するための効率的アルゴリズムの開発。
• 最大期待報酬（maximin expected payoff）および (u,p)-最大最小戦略（p は最小報酬 u を達成する確率）の両方の多項式時間近似スキーム（PTAS）の提供。
• 一般化されたコロンエル・ブロットゲームの計算複雑性を解明し、それが指数時間完全であることを証明すること。
• 近似的最適性を維持しながらサポートサイズを削減することで、均衡戦略の実用的導入を可能にすること。

提案手法

• コロンエル・ブロットの非凸な解空間を多項式個の互いに素な凸ポリトープに分割し、凸最適化手法を可能にする。
• 組み合わせ的構造と戦略的制約を用いて、最適戦略におけるサポートサイズを制限する。
• アドラーの零和ゲーム還元の修正版を用いて、要約された線形不等式問題を一般コロンエル・ブロットに還元する。
• 可能な部隊配分を、補完的割り当てを持つ戦場の部分集合として符号化し、報酬行列のエントリに対応させる。
• 非可能な配分をペナルティ化する報酬関数を定義し、可能な配分を歪対称報酬行列のエントリに写像する。
• 構築された報酬行列の最大最小と一般コロンエル・ブロットゲームの最大最小との同値性を活用し、完全性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸な解空間にもかかわらず、サポートが有界なコロンエル・ブロットゲームにおける最適戦略は計算可能か？
• RQ2 最大期待報酬および (u,p)-最大最小の両目的に対して、多項式時間近似スキームを設計可能か？
• RQ3 一般化されたコロンエル・ブロットゲームにおける最大最小を求める計算複雑性は何か？
• RQ4 コロンエル・ブロットの解空間は、効率的な最適化を可能にする管理可能な凸成分に分解可能か？
• RQ5 要約された線形不等式から一般コロンエル・ブロットへの還元は、最大最小の結果を保ち、完全性を確立するか？

主な発見

• コロンエル・ブロットゲームの解空間は、多項式個の互いに素な凸ポリトープに分割可能であり、全体として非凸であっても凸最適化手法を適用可能である。
• 本稿は、コロンエル・ブロットゲームにおける最大期待報酬および (u,p)-最大最小の両目的に対して、初めての多項式時間近似スキーム（PTAS）を提示する。
• 要約された回路値問題を経由して要約された線形不等式問題に還元し、アドラーの零和ゲーム構成を用いることで、一般コロンエル・ブロットが指数時間完全であることが証明される。
• ゲームにおける可能な配分は、補完的部隊割り当てを持つ戦場の部分集合として符号化され、報酬行列の行と列に対応する1対1の対応関係が保証される。
• 非可能な配分が支配的であり、最大最小の結果に影響を及ぼさないため、安全に除外可能であることが示された。
• 一般コロンエル・ブロットゲームの最大最小は、構築された歪対称報酬行列の最大最小と等価であり、最大最小戦略の最後の成分が非ゼロであることは、元のシステムに解が存在することと同値である。