[論文レビュー] Optimal Superconvergence Analysis for the Crouzeix-Raviart and the Morley elements

Jun Hu, Limin Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Crouzeix-RaviartおよびMorley有限要素の最適な超収束解析を、関連する混合有限要素（Raviart–ThomasおよびHellan–Herrmann–Johnson）の正準補間と有限要素解との差に対する離散ヘルムホルツ分解を導入することによって提示する。この手法により、均一かつやや構造的（mildly-structured）なメッシュ上での完全な1次超収束結果が得られ、従来の半次の理論的推定値と観測された数値的性能との間のギャップが解消される。

ABSTRACT

In this paper, an improved superconvergence analysis is presented for both the Crouzeix-Raviart element and the Morley element. The main idea of the analysis is to employ a discrete Helmholtz decomposition of the difference between the canonical interpolation and the finite element solution for the first order mixed Raviart--Thomas element and the mixed Hellan--Herrmann--Johnson element, respectively. This, in particular, allows for proving a full one order superconvergence result for these two mixed finite elements. Finally, a full one order superconvergence result of both the Crouzeix-Raviart element and the Morley element follows from their special relations with the first order mixed Raviart--Thomas element and the mixed Hellan--Herrmann--Johnson element respectively. Those superconvergence results are also extended to mildly-structured meshes.

研究の動機と目的

• 非一致有限要素に対する従来の半次の理論的推定値と数値的実験で観測された完全な1次超収束との間のギャップを埋めること。
• 境界項の既存のソボレフ空間に基づく推定値に起因する制限を克服する、新しい超収束解析技術の開発。
• 準均一性の仮定を緩和して、やや構造的（α,σ）メッシュへ最適超収束結果を拡張すること。
• Crouzeix-RaviartおよびMorley要素の観測された超収束挙動に、厳密な理論的基盤を確立すること。
• 均一、部分均一、デローニメッシュを含むさまざまなメッシュタイプにおける数値実験を通じて、手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 1次Raviart–ThomasおよびHellan–Herrmann–Johnson混合有限要素の正準補間と有限要素解との誤差に対する離散ヘルムホルツ分解を採用する。
• 分解を用いて、共通の頂点を持つ境界項のキャンセルを可能にし、主要な誤差推定式で寄与を相殺させる。
• 改善された解析を混合要素に適用することで、既知の同等関係を介して、非一致Crouzeix-RaviartおよびMorley要素に対する最適超収束が導かれる。
• すべての要素 K に対して |ln h_K| ≈ |ln h| であると仮定することで、(α,σ)-メッシュへの一般化を図る。これは準均一性よりも弱い条件である。
• 従来の研究で用いられる変分誤差展開を避けることで、非均一メッシュへのより広い適用可能性と、より簡単な拡張性を実現する。
• 板曲げ問題におけるMorley要素の均一、部分均一、デローニメッシュ上での数値的検証を通じて、理論的予測の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Crouzeix-RaviartおよびMorley要素に対して、完全な1次超収束結果を厳密に証明でき、従来の半次の推定値との乖離を解消できるか？
• RQ2 既存のソボレフ空間に基づく境界項の解析は、非改善性が知られており、それ以上改善できないが、これを越える境界項解析が可能か？
• RQ3 離散ヘルムホルツ分解技術が、境界項に十分なキャンセルをもたらし、最適超収束を達成できるか？
• RQ4 完全な準均一性を要件としないで、やや構造的（α,σ）メッシュへ超収束結果を拡張できるか？
• RQ5 異なるメッシュタイプ（デローニおよび部分均一メッシュを含む）における理論的超収束率と数値的結果との比較は、どのように示されるか？

主な発見

• 均一メッシュ上でのCrouzeix-RaviartおよびMorley要素に対して、完全な1次超収束が証明され、従来の半次の推定値とのギャップが解消された。
• 改善された解析により、Raviart–ThomasおよびHellan–Herrmann–Johnson混合有限要素の最適収束率が h^{1+ρ} に達し、従来の半次の結果を上回った。
• 離散ヘルムホルツ分解により、境界項の重要なキャンセルが実現され、これが最適超収束を達成する鍵となった。
• |ln h_K| ≈ |ln h| の条件下で、やや構造的（α,σ）メッシュへ超収束結果が拡張可能であり、これは準均一性よりも弱い条件である。
• 数値的実験により理論的収束率が確認された：Morley要素の後処理誤差は均一メッシュ上ですでに収束率2.04を示し、最適な2に近づいている。
• 部分均一およびデローニメッシュ上では、補間誤差は依然として最適（約1.9）を維持するが、後処理誤差は非最適（約1.6）にとどまる。これは、後処理がメッシュ構造に敏感であることを示唆している。