[論文レビュー] Optimal Switching for Hybrid Semilinear Evolutions

Fabian Rueffler, Falk M. Hante|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非線形的摂動を受ける強連続半群によって支配される異なるモードを、状態リセットとスイッチングコストを伴って切り替えるハイブリッド非線形進化系における必要最適性条件を構築する。スイッチング時刻およびモード挿入に関する随伴方程式による勾配表現を導出し、ODEベースの手法をPDEおよび主部または生成作用素にスイッチングを含む遅延微分方程式に一般化する。

ABSTRACT

We consider the optimization of a dynamical system by switching at discrete time points between abstract evolution equations composed by nonlinearly perturbed strongly continuous semigroups, nonlinear state reset maps at mode transition times and Lagrange-type cost functions including switching costs. In particular, for a fixed sequence of modes, we derive necessary optimality conditions using an adjoint equation based representation for the gradient of the costs with respect to the switching times. For optimization with respect to the mode sequence, we discuss a mode-insertion gradient. The theory unifies and generalizes similar approaches for evolutions governed by ordinary and delay differential equations. More importantly, it also applies to systems governed by semilinear partial differential equations including switching the principle part. Examples from each of these system classes are discussed.

研究の動機と目的

• 抽象的非線形進化系に従うハイブリッドシステムにおける最適スイッチングの統一的枠組みを構築すること。
• 例えばPDEの主部が変化するような、生成作用素にスイッチングを含むシステムにおける勾配ベース最適化手法の欠如に対処すること。
• ODEにおけるスイッチング時刻最適化およびモード挿入勾配を、非線形摂動および状態リセットを伴う無限次元系へ拡張すること。
• スイッチング時刻およびモード系列の両方に対して、随伴方程式を用いた微分可能なコスト表現を提供すること。
• スイッチングが進化作用素に影響を与える複雑なシステム（例：ガスネットワーク）における勾配ベース最適化を可能にすること。

提案手法

• バナッハ空間設定における随伴方程式の定式化を用いて、コスト汎関数のスイッチング時刻に関する勾配を導出する。
• モード列の最適化を可能にするために、モード挿入勾配を導入し、異なるモード順序の体系的探索を可能にする。
• 半群理論を用いて、異なるモード下での連続的ダイナミクスをモデル化し、生成作用素 $A^j$ が $C^0$-半群を生成することを仮定する。
• スイッチング時刻における非線形状態リセット写像 $g^{j,j'}$ と、スイッチングペナルティを含むラグランジュ型コスト関数を組み込む。
• 主部にスイッチングを含む系、例えば輸送方程式と拡散方程式の間のPDE、またはDDEにおける遅延パラメータのスイッチングに適用する。
• システムパrameterおよび半群生成作用素の弱い正則性仮定のもとで、コスト汎関数の微分可能性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態リセットとスイッチングコストを伴うハイブリッド非線形進化系において、コスト汎関数のスイッチング時刻に関する勾配はどのように表現できるか？
• RQ2 特に既存のモード列に新たなモードを挿入する場合に、モード列の最適化のための適切な勾配定式化は何か？
• RQ3 ODEにおける随伴ベース勾配手法を、生成作用素自体がモード間でスイッチングするPDEを支配する系へ一般化できるか？
• RQ4 例えば輸送作用素と拡散作用素の間をスイッチングするPDEの主部におけるスイッチングは、理論的にどのように扱えるか？
• RQ5 無限次元設定において、コスト汎関数の微分可能性および随伴表現の有効性を保証する条件は何か？

主な発見

• スイッチング時刻に関するコストの勾配は、随伴方程式の解を用いて表現され、勾配ベース最適化が可能になる。
• モード挿入勾配により、異なるモード列の体系的探索が可能となり、ハイブリッド最適化アルゴリズムの基盤を形成する。
• 理論は、生成作用素（例えば主部）がスイッチングするPDEおよび遅延微分方程式へのODEベースのスイッチング時刻最適化を一般化する。
• 輸送方程式（$A^1 = \partial_x$）から拡散方程式（$A^2 = \partial_x^2$）へのスイッチングにおいて、非負の勾配から $\tau = 0$ が最適スイッチング時刻であることが示された。
• 随伴解は時間の逆方向に伝搬され、非可換な半群であっても感度の効率的計算を可能にする。
• この枠組みは安定性解析と整合性を保ち、将来の研究において非有界摂動および一般境界条件への拡張が可能である。