[論文レビュー] Optimal Trading with Linear and (small) Non-Linear Costs

Adam Rej, Raphael Benichou+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形コストおよび小さな二次（市場インパクト）コストを併せ持つ最適取引問題を解くために、一致漸近展開法を開発する。市場インパクトにより、取引を控える領域（NT領域）の幅が、インパクトパラメータの立方根に比例して縮小することを示し、4つの明確に区別できる取引制度を同定する：縮小するNT領域、線形速度減衰を示す狭い境界層、中間領域における平方根領域、および外側の線形領域。これらの結果は数値結果と整合的であり、二次形式以外の一般化された非線形コストに対しても一般化可能である。

ABSTRACT

We reconsider the problem of optimal trading in the presence of linear and quadratic costs, for arbitrary linear costs but in the limit where quadratic costs are small. Using matched asymptotic expansion techniques, we find that the trading speed vanishes inside a band that is narrower than in the absence of quadratic costs, by an amount that scales as the one-third power of quadratic costs. Outside of the band, we find three regimes: a small boundary layer where the velocity vanishes linearly with the distance to the band, an intermediate region where the velocity behaves as a square-root of that distance, and a far region where it becomes linear. Our solution is consistent with available numerical results. We determine the conditions in which our expansion is useful in practical applications, and generalize our solution to other forms of non-linear costs.

研究の動機と目的

• 線形取引コストと小さな二次市場インパクトコストが同時に存在する状況における最適取引戦略を特定すること。
• 特に二次コストが小さい場合に生じる混合コスト構造下での最適実行問題を解くこと。
• 純粋な線形コスト（取引を控える帯）の既知の解を、小さな市場インパクト効果を含める形に拡張すること。
• 二次形式を超える一般の非線形コスト関数に対しても適用可能な体系的な漸近的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 市場インパクトが小さい極限（η → 0）において、線形コストを支配的とみなして、最適取引問題を一致漸近展開法で分析する。
• 中央の取引を控える帯、狭い境界層、中間の平方根領域、外側の線形領域の4つの明確な領域で解を導出する。
• 取引速度が帯の端付近で生じる平方根特異性を正則化するために、境界層理論を適用する。
• Γ > 0、η = 0 の既知の解の周囲で展開することにより、価値関数のハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を解く。
• メルトン＝サトの最適性条件を用いて、領域間における価値関数の連続性および滑らかさを強制する。
• 経験的に観察された Q^{3/2} インパクト則を含む、他の非線形コスト関数に対しても、適切なスケーリングとマッチング技術を用いて一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな二次市場インパクトコストを含めた場合、純粋な線形コストケースと比較して最適取引戦略はどのように変化するか？
• RQ2 市場インパクトによって引き起こされる取引を控える領域の幅の縮小は、どのようなスケーリングに従うか？
• RQ3 取引を控える帯の周辺における取引速度の振る舞い、特に境界層および中間領域においてはどのように振る舞うか？
• RQ4 この漸近解は、Q^{3/2} インパクトのような非二次関数に一般化可能か？
• RQ5 実世界の取引応用において、漸近展開の有効性と実用的有用性を保証する条件は何か？

主な発見

• 取引を控える領域の幅は、市場インパクトパラメータ η に比例する η^{1/3} の量に応じて縮小する。
• 取引を控える帯の周囲に、幅が η^{1/3} の狭い境界層が形成され、そこでは取引速度が帯からの距離に比例して線形に減少する。
• 中間領域では、取引速度が帯からの距離の平方根に比例し、純粋な線形コスト解に見られる特異性が正則化される。
• 帯から遠く離れた領域では、取引速度は距離に線形に従い、Γ > 0、η = 0 の正確な解に回復する。
• 境界における価値関数の3階微分が正であるため、解の安定性および漸近的マッチングの正しさが確認される。
• 適切なスケーリングとマッチング技術を用いることで、経験的に観察された Q^{3/2} インパクト則を含む、他の非線形コスト関数に対しても、この手法は一般化可能である。