[論文レビュー] Optimal trajectory tracking

Jakob Löber|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 108被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形アフィン制御系における最適軌道追従のためのフレームワークを提示する。これは、制御入力を明示的に導出することで完全な追従を実現可能な「正確に実現可能な軌道」のクラスを同定することにより達成される。線形化仮定を用い、正則化パラメータを小さな摂動とみなすことにより、非線形最適制御に内在する線形構造が明らかになり、機械的系やFitzHugh-Nagumoモデルを含む広範なクラスの系に対して正確な解析的解が得られる。

ABSTRACT

This thesis investigates optimal trajectory tracking of nonlinear dynamical systems with affine controls. The control task is to enforce the system state to follow a prescribed desired trajectory as closely as possible. The concept of so-called exactly realizable trajectories is proposed. For exactly realizable desired trajectories exists a control signal which enforces the state to exactly follow the desired trajectory. This approach does not only yield an explicit expression for the control signal in terms of the desired trajectory, but also identifies a particularly simple class of nonlinear control systems. Systems in this class satisfy the so-called linearizing assumption and share many properties with linear control systems. For example, conditions for controllability can be formulated in terms of a rank condition for a controllability matrix analogously to the Kalman rank condition for linear time invariant systems. Furthermore, exactly realizable trajectories arise as solutions to unregularized optimal control problems. Based on that insight, the regularization parameter is used as the small parameter for a perturbation expansion. This results in a reinterpretation of affine optimal control problems with small regularization term as singularly perturbed differential equations. The small parameter originates from the formulation of the control problem and does not involve simplifying assumptions about the system dynamics. Combining this approach with the linearizing assumption, approximate and partly linear equations for the optimal trajectory tracking of arbitrary desired trajectories are derived. For vanishing regularization parameter, the state trajectory becomes discontinuous and the control signal diverges. On the other hand, the analytical treatment becomes exact and the solutions are exclusively governed by linear differential equations. Thus, the possibility of linear structures underlying nonlinear optimal control is revealed. This fact enables the derivation of exact analytical solutions to an entire class of nonlinear trajectory tracking problems with affine controls. This class comprises, among others, mechanical control systems in one spatial dimension and the FitzHugh-Nagumo model with a control acting on the activator.

研究の動機と目的

• 非線形アフィン制御系における最適軌道追従のための解析的フレームワークを開発すること。
• 線形化仮定を満たす系のクラスを特定し、その中で最適制御の正確な解析的解が存在することを示すこと。
• 小さな正則化における最適制御問題を特異摂動系として再解釈し、近似解を導出すること。
• 線形系と類似する可制御性および出力実現可能性の条件を確立すること。
• 機械的系およびFitzHugh-Nagumoモデルに対してこの手法を適用し、正則化がゼロに近づく極限において正確な可解性を示すこと。

提案手法

• 『正確に実現可能な軌道』の概念を導入する—これは明示的な制御入力を用いて完全に追従可能な所望の軌道である。
• 射影子 P および Q を用いて、状態方程式を分解し、独立した成分に分離する線形化仮定を適用する。
• 線形時不変系におけるカーマン階数条件に類似した可制御性条件を導出する。
• 小さな正則化における最適制御問題を、正則化パラメータ ϵ を小さなパラメータとする特異摂動系として再解釈する。
• マッチド漸近展開を用いて、内層（境界層）および外層（正則）解を導出する。
• 極限 ϵ → 0 において、内層および外層展開をマッチングさせることで、状態および制御信号の合成解を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、非線形アフィン制御系において所望の軌道を正確に追従できるか？
• RQ2 正則化パラメータを小さな摂動とみなすことにより、最適制御問題の構造はどのように簡略化できるか？
• RQ3 正確に実現可能な軌道と正則化なしの最適制御問題との関係は何か？
• RQ4 線形化仮定を満たす非線形系は、階数に基づく可制御性といった線形系の性質をどの程度引き継ぐのか？
• RQ5 特異摂動構造を活用することで、非線形系に対し最適軌道追従の解析的解を導出できるか？

主な発見

• 線形化仮定を満たす系では、正確に実現可能な軌道が存在し、制御入力の明示的解析的表現が可能になる。
• このような系の可制御性は、線形系におけるカーマン階数条件に類似した、可制御性行列類似物の階数条件によって決定される。
• 正則化が消える極限（ϵ → 0）において、状態軌道は不連続になり、制御信号は発散するが、解析的取り扱いは正確になり、線形微分方程式に従う。
• 本手法により、1次元の機械的系やアフィン制御を伴うFitzHugh-Nagumoモデルを含む、非線形最適制御問題の広いクラスに対して正確な解析的解が得られる。
• 特異摂動アプローチにより、任意の所望の軌道に対して近似解が導出可能であり、ϵ → 0 に近づくにつれて正確な解に収束する。
• このフレームワークにより、正則化パラメータを小さな摂動とみなすと、非線形最適制御問題が内在する線形構造を有することが明らかになった。