[論文レビュー] Optimal transport and information geometry

Ting‐Kam Leonard Wong, Jiaowen Yang|arXiv (Cornell University)|May 31, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、ケイムとマカーンの擬リーマン幾何学的枠組みが$c$-発散を介して古典的情報幾何学の双対構造を記述することを示すことにより、最適輸送と情報幾何学の間に深い接続を確立する。MTWテンソルが情報幾何学的解釈を持つこと、および擬リーマン形式主義を通じて2次形式と$L^{(\alpha)}$-発散が統一的な幾何学的枠組みの下に統合されることを明らかにする。

ABSTRACT

Optimal transport and information geometry both study geometric structures on spaces of probability distribution, and their connections have attracted more and more attention. In this paper we show that the pseudo-Riemannian framework of Kim and McCann, a geometric approach to the celebrated Ma-Trudinger-Wang condition in the regularity theory of optimal transport maps, encodes the dualistic structure in classical information geometry. This general relation is described using the natural framework of $c$-divergence, a divergence defined by an optimal transport map. As a by-product, we obtain a new information-geometric interpretation of the MTW tensor. This connection sheds light on old and new aspects of information geometry. The dually flat geometry of Bregman divergence corresponds to the quadratic cost and the pseudo-Euclidean space, and the $L^{(\alpha)}$-divergence introduced by Pal and the first author has constant sectional curvature in a sense to be made precise. We also study canonical divergences in information geometry and interpret them using the pseudo-Riemannian framework.

研究の動機と目的

• ケイムとマカーンの擬リーマン幾何学的枠組みを用いて、最適輸送と情報幾何学の間の幾何学的ブリッジを確立すること。
• 古典的情報幾何学における双対構造が、最適輸送写像によって誘導される$c$-発散から自然に生じることを示すこと。
• 擬リーマン形式主義を通じて、MTWテンソルの新しい情報幾何学的解釈を提供すること。
• 擬リーマン幾何学的枠組みを用いて情報幾何学における標準的発散を解釈し、異なる発散タイプを統一すること。

提案手法

• ケイムとマカーンが開発した擬リーマン幾何学的枠組みを用い、最適輸送におけるマ・トゥディンガー・ワング（MTW）条件を分析する。
• $c$-発散を中核的なツールとして定義し、最適輸送写像と情報幾何的発散を結びつける。
• この枠組みにおいて、Bregman発散の双対平坦幾何学が2次コストおよび擬ユークリッド空間に対応することを示す。
• $L^{(\alpha)}$-発散（パルと第一著者による）が、明確な幾何学的意味で一定の断面曲率を持つことを示す。
• 輸送問題の擬リーマン構造に埋め込むことで、MTWテンソルの幾何学的役割を分析する。
• この枠組みを情報幾何学における標準的発散に適用し、それらの内在的な幾何学的起源を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適輸送の擬リーマン構造は、どのように情報幾何学の双対幾何学を記述するか？
• RQ2 最適輸送枠組み内でのMTWテンソルの情報幾何学的意味は何か？
• RQ3 Bregman発散と$L^{(\alpha)}$-発散は、擬リーマン幾何学の文脈において、$c$-発散からどのように導かれるか？
• RQ4 情報幾何学における標準的発散は、最適輸送および擬リーマン幾何学の視点から体系的に解釈可能か？
• RQ5 $L^{(\alpha)}$-発散の文脈において、一定の断面曲率の幾何学的意義は何か？

主な発見

• ケイムとマカーンの擬リーマン枠組みは、$c$-発散を通じて、古典的情報幾何学の双対構造を自然に記述する。
• MTWテンソルは、この枠組みにおいて、擬リーマン輸送空間内の曲率対象としての新しい情報幾何学的解釈を獲得する。
• Bregman発散の双対平坦幾何学が、この枠組みにおいて2次コストおよび擬ユークリッド幾何学に対応することが示された。
• $L^{(\alpha)}$-発散は、明確に定義された幾何学的意味で一定の断面曲率を持つことが証明され、既知の性質が一般化された。
• 情報幾何学における標準的発散が、擬リーマン形式主義を通じて体系的に解釈され、それらの内在的な幾何学的起源が明らかにされた。