[論文レビュー] Optimal transport in Lorentzian synthetic spaces, synthetic timelike Ricci curvature lower bounds and applications

Fabio Cavalletti, Andrea Mondino|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、最適輸送を用いてローレンツ型前長さ空間における時空的リッチ曲率下界を合成的に確立し、$τ$CD$^e$および$τ$MCP$^e$条件を導入する。弱収束に関して安定性を証明し、体積比較やホーキング特異点定理を$C^0$計量や特異モデルを含む低正則性時空へ拡張する枠組みを適用する。

ABSTRACT

The goal of the present work is three-fold. The first goal is to set foundational results on optimal transport in Lorentzian (pre-)length spaces, including cyclical monotonicity, stability of optimal couplings and Kantorovich duality (several results are new even for smooth Lorentzian manifolds). The second one is to give a synthetic notion of ``timelike Ricci curvature bounded below and dimension bounded above'' for a measured Lorentzian pre-length space using optimal transport. The key idea being to analyse convexity properties of Entropy functionals along future directed timelike geodesics of probability measures. This notion is proved to be stable under a suitable weak convergence of measured Lorentzian pre-length spaces, giving a glimpse on the strength of the approach we propose. The third goal is to draw applications, most notably extending volume comparisons and Hawking singularity Theorem (in sharp form) to the synthetic setting. The framework of Lorentzian pre-length spaces includes as remarkable classes of examples: space-times endowed with a causally plain (or, more strongly, locally Lipschitz) continuous Lorentzian metric, closed cone structures, some approaches to quantum gravity.

研究の動機と目的

• ローレンツ型合成空間における基礎的最適輸送理論（循環単調性およびカンタロビッチ双対性を含む）の構築。
• 時間的測地線に沿ったエントロピーの凸性を用いて、「時空的リッチ曲率が下から有界で次元が上から有界である」という合成的概念を定義する。
• 測度付きローレンツ型前長さ空間の弱収束に関して、合成的曲率条件の安定性を証明する。
• 体積比較やホーキング特異点定理といった古典的結果を、合成的・非滑らか設定へ拡張する。
• $C^0$計量、コーン構造、量子重力のモデルを含む時空にこの枠組みを適用する。

提案手法

• 測度付きローレンツ型前長さ空間における最適輸送を、$\ell_p$-最適輸送および動的計画を用いて形式化する。
• 確率測度の未来指向時空的測地線に沿ったエントロピー関数の凸性を用いて、合成的時空的リッチ曲率下界を定義する。
• $\mathsf{TCD}^e_p(K,N)$および$\mathsf{TMCP}^e(K,N)$条件を、リッチ曲率および測度収縮性質の合成的類似物として導入する。
• 時間分離関数$\tau_x$に沿った測度の分解を用いて、曲率条件を局所化し、条件付き測度を分析する。
• グロモフの補題および面積関数$A_x(r,v)$の漸近的解析を用いて、局所幾何と曲率下界を関連付ける。
• $\mathsf{TMCP}^e(K,N)$と、$\mathfrak{s}_{K/(N-1)}$関数を含む一般化された測度収縮不等式との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさが欠如する状況下でも、最適輸送理論（循環単調性および双対性を含む）をローレンツ型合成空間へ拡張できるか？
• RQ2 最適輸送を用いて、非滑らかローレンツ型空間における「時空的リッチ曲率が下から有界である」という合成的概念をどのように定義できるか？
• RQ3 提案された合成的曲率条件は、測度付きローレンツ型前長さ空間の弱収束に関して安定か？
• RQ4 体積比較やホーキング特異点定理は、$C^0$計量や低正則性幾何を有する時空へ拡張可能か？
• RQ5 合成的$\mathsf{TMCP}^e(K,N)$条件と滑らかな時空における古典的リッチ曲率下界$\mathrm{Ric}_g(v,v) \geq -K g(v,v)$との関係は何か？

主な発見

• $\mathsf{TMCP}^e(K,N)$条件は、$N \geq n$のとき滑らかな時空に対して$\mathrm{Ric}_g(v,v) \geq -K g(v,v)$を意味し、$N \to n$の極限で等号が成り立つ。
• $N > 1$の任意の$N$に対して、$\mathrm{Ric}_g \geq 0$、次元$\leq N-1$、$\tau$-直径$\leq L$を満たすグローバルに双曲的時空は、すべての$K \leq c_N / L^2$（$c_N > 0$）に対して$\mathsf{TMCP}^e(K,N)$を満たす。
• $\mathsf{TMCP}^e(K,N)$条件は、$\mathsf{wTCD}^e_p(K,N)$よりも厳密に弱い。これは、$\mathsf{TMCP}^e(0,N-1)$を満たすが$\mathsf{wTCD}^e_p(0,N)$を満たさない時空が存在することによって示される。
• 確率測度の時空的測地線に沿ったエントロピー関数の凸性が、合成的時空的リッチ曲率下界を特徴付ける。
• $\mathsf{TCD}^e_p(K,N)$および$\mathsf{TMCP}^e(K,N)$条件は、測度付きローレンツ型前長さ空間の弱収束に関して安定である。
• ホーキング特異点定理は合成的枠組みでも成立する：$\mathsf{TMCP}^e(K,N)$で$K > 0$ならば、時空は拡張不能である。