[論文レビュー] OPTIMAL TRANSPORT WITH COULOMB COST AND THE SEMICLASSICAL LIMIT OF DENSITY FUNCTIONAL THEORY

Ugo Bindini, Luigi De Pascale|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、クーロン系に対する密度汎関数理論（DFT）におけるホーエンベルク＝コーン汎関数の半古典的極限を確立する。具体的には、プランク定数 ℏ → 0 の極限において、運動エネルギーおよび電子間相互作用エネルギー汎関数がクーロンコストを伴うマルチマージナル最適輸送問題に収束することを証明する。ボソン系（任意の粒子数 N）およびフェルミオン系（N=2,3）に対して、Γ収束および運動エネルギーと粒子相関の所望の漸近的挙動を達成する新しい波動関数の構成を用いて、極限が最適輸送コスト C(ρ) に収束することが厳密に示されている。

ABSTRACT

We present some progress in the direction of determining the semiclassical limit of the Hoenberg-Kohn universal functional in Density Functional Theory for Coulomb systems. In particular we give a proof of the fact that for Bosonic systems with an arbitrary number of particles the limit is the multimarginal optimal transport problem with Coulomb cost and that the same holds for Fermionic systems with 2 or 3 particles. Comparisons with previous results are reported . The approach is based on some techniques from the optimal transportation theory.

研究の動機と目的

• クーロン系に対する密度汎関数理論（DFT）におけるホーエンベルク＝コーン汎関数の半古典的極限を特定すること。
• 多体量子力学とクーロンコストを伴うマルチマージナル最適輸送の間の厳密な接続を確立すること。
• 従来の結果を拡張し、最適輸送技法を用いた直接的証明を提供することで、以前の手法を簡略化すること。
• ボソンおよびフェルミオンの波動関数の明示的族を構成し、ℏ → 0 の極限において最適輸送コストを達成すること。
• 対称および反対称波動関数の両方に対して、量子エネルギー汎関数が最適輸送コスト汎関数 C(ρ) に Γ 収束することを証明すること。

提案手法

• 量子エネルギー汎関数の ℏ → 0 の極限を調べる主な分析的道具として Γ 収束を用いる。
• 最適輸送コスト C(ρ) を特徴付けるために、双対性理論およびモンジュ＝カンタロヴィッチ問題の性質を適用する。
• 与えられた ρ ∈ H に位置空間密度が収束するように、対称（ボソン的）または反対称（フェルミオン的）で正規化された明示的波動関数（ψℏ）を構成する。
• 空間的局在性と位相構造を備えた、ε(ℏ) = √ℏ でパラメータ化された波動関数族を用い、運動エネルギーを最小化しながら粒子相関を維持するように設計する。
• 勾配推定および Lp 界を用いて、ℏ → 0 のとき Tℏ(ψℏ) → 0 を制御する。
• 電子間相互作用エネルギー Vee(ψℏ) が、関連する輸送計画 P に対する最適輸送コスト CS(P) に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クーロン系に対するDFTにおけるホーエンベルク＝コーン汎関数の半古典的極限は、クーロンコストを伴うマルチマージナル最適輸送問題に収束するか？
• RQ2 この収束は、ボソン系およびフェルミオン系の両方、特に N=2 および N=3 のフェルミオンに対して成立するか？
• RQ3 波動関数の構成は、ℏ → 0 の極限において最適輸送コストを達成するために果たす役割は何か？
• RQ4 Γ収束は、量子多体系エネルギー汎関数と最適輸送コストを厳密に結びつけるためにどのように用いられるか？
• RQ5 近似波動関数の運動エネルギーは、半古典的極限においてゼロに収束するように制御可能か？

主な発見

• 任意の ρ ∈ H および任意の N ∈ ℕ に対して、ボソン的汎関数 F^S_ℏ(ρ) は ℏ → 0 のとき C(ρ) に Γ 収束する。
• d = 1, 2, 3, 4 および N = 2, 3 のとき、フェルミオン的汎関数 F^A_ℏ(ρ) は ℏ → 0 のとき C(ρ) に Γ 収束する。
• 構成された波動関数 ψℏ の運動エネルギー Tℏ(ψℏ) は ℏ → 0 のときゼロに近づき、∥√ρ∥_{H^1} および ℏ を含む明示的界が得られる。
• 電子間相互作用エネルギー Vee(ψℏ) は、関連する輸送計画 P に対する最適輸送コスト CS(P) に収束する。
• 波動関数の構成により、必要な漸近的挙動が達成されている：|ψℏ|² → P であり、∇ψℏ が制御されており、Tℏ(ψℏ) → 0 となる。
• 証明により、等強制性および Γ-liminf/Γ-limsup 不等式が確立され、ボソン的およびフェルミオン的両ケースの Γ 収束証明が完成する。