[論文レビュー] Optimal transportation on non-compact manifolds

Albert Fathi, Alessio Figalli|ArXiv.org|Nov 28, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、完全で非コンパクトなリーマン多様体上で、特に $r > 1$ の $d^r$ に対して、Tonelli ラグランジアンから導かれるコスト関数について、源および標的測度の最小限の可積分性条件のもとで、最適輸送写像の存在と一意性を確立する。これは、曲率制限なしに、コンパクト多様体における古典的結果を非コンパクト設定へと拡張したものであり、最適輸送およびラグランジュ力学の技術を用いている。

ABSTRACT

In this work, we show how to obtain for non-compact manifolds the results that have already been done for Monge Transport Problem for costs coming from Tonelli Lagrangians on compact manifolds. In particular, the already known results for a cost of the type $d^r,r>1$, where $d$ is the Riemannian distance of a complete Riemannian manifold, hold without any curvature restriction.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体における $d^r$ コストの最適輸送理論を、非コンパクトなリーマン多様体へと拡張すること。
• 完全で非コンパクトな多様体上で、Tonelli ラグランジアンコストに対して最適輸送写像の存在と一意性を確立すること。
• 従来の結果を制限していた曲率およびコンパクト性の仮定を排除すること。
• Ambrosio-Gigli-Savaré および Bernard-Buffoni の技術を非コンパクト設定へと適応すること。
• 測度の最小限のモーメント条件のもとで、輸送写像が $\mu$-ほとんど everywhere で一意に定まることを証明すること。

提案手法

• 弱い Tonelli ラグランジアンおよびそれらに関連するハミルトン・ジャコビ方程式の理論を用いる。
• ねじれ条件（twist condition）と最小化子の一意性（UC）を適用し、輸送コスト勾配の単射性を保証する。
• 測地線フローとオイラー＝ラグランジュフローを用いて、最小化曲線を特徴付ける。
• ホルダーの不等式を用い、$L^r$-エネルギーとリーマン距離との関係を示し、$c_{t,L_{r,g}} = t^{r-1}d_g^r$ を得る。
• 左/右ねじれ条件を適用し、輸送写像がコスト勾配によって一意に定まることを証明する。
• 値関数における半コンケーブ関数および正則性理論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトなリーマン多様体上で $d^r$ コストに対して、最適輸送写像の存在と一意性を確立できるか？
• RQ2 曲率やコンパクト性の仮定が欠落することで、コンパクト設定における標準的結果が無効になるか？
• RQ3 ラグランジュ力学を用いて、ねじれ条件と最小化子の一意性を非コンパクト多様体へと拡張できるか？
• RQ4 源および標的測度に必要なモーメント条件は何か？ これにより最適輸送写像の存在が保証される。
• RQ5 コスト関数 $c_{t,L_{r,g}} = t^{r-1}d_g^r$ の構造は、測地線フローおよび輸送の正則性とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の連結で完全なリーマン多様体 $M$ および $r > 1$ に対して、源および標的測度が適切な基点に関する有限な $r$-次のモーメントを持つ限り、$d^r$ コストに対して最適輸送写像が存在する。
• 非コンパクト多様体であっても、最適輸送写像は $\mu$-ほとんど everywhere で一意に定まる。
• ラグランジアン $L_{r,g}(x,v) = \|v\|_x^r$ のためのコスト $c_{t,L_{r,g}}$ は $t^{r-1}d_g^r(x,y)$ に等しく、$L^r$-エネルギーとリーマン距離を結びつける。
• 輸送写像は測地線フローから生じ、初期速度はコスト勾配によって一意に定まる。
• コスト $c_{t,L_{r,g}}$ に対してねじれ条件が成り立ち、これにより輸送写像はほとんど everywhere で適切に定義され、単射である。
• 多様体に曲率の仮定を一切設けず、従来のコンパクト多様体における結果を非コンパクトケースへと一般化する。