[論文レビュー] Optimal Transportation with Boundary Costs and Summability Estimates on the Transport Density

Samer Dweik|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、輸出入の境界コストを伴う有界領域における最適輸送を研究し、特徴的な測度が境界に集中する場合でも、輸送密度の$L^p$可 summability を証明している。境界条件を満たすベルクマン問題とカンタロヴィッチ問題の双対性を確立し、ヤコビ行列の行列式推定と陰関数定理を用いて輸送写像の正則性を導出する。

ABSTRACT

In this paper we analyze a mass transportation problem in a bounded domain with the possibility to transport mass to/from the boundary, paying the transport cost, that is given by the Euclidean distance plus an extra cost depending on the exit/entrance point. This problem appears in import/export model, as well as in some shape optimization problems. We study the L^p summability of the transport density which does not follow from standard theorems, as the target measures are not absolutely continuous but they have some parts of them which are concentrated on the boundary. We also provide the relevant duality arguments to connect the corresponding Beckmann and Kantorovich problems to a formulation with Kantorovich potentials with Dirichlet boundary conditions.

研究の動機と目的

• 有界領域における輸出・輸入コストを伴う最適輸送を分析すること。
• 特徴的な測度（境界に集中）の場合に、輸送密度の$L^p$可 summability が成り立つことを証明すること。標準的定理では成立しない。
• ディリクレ境界条件を満たすポテンシャルを含むベルクマン問題とカンタロヴィッチ問題の双対性を構築すること。
• 陰関数定理とヤコビ行列の行列式解析を用いて、輸送写像$T$がほとんど everywhere で$C^1$正則であることを証明すること。

提案手法

• 輸送コストに加え、輸入コスト$g_1$と輸出コスト$g_2$を含む境界コストを伴うケントロヴィッチ問題（KPb）の変種を定式化し、総コスト（輸送コスト＋境界税）を最小化する。
• ディリクレ境界条件を満たすケントロヴィッチポテンシャルを用いた双対形式を導入し、モンジュ＝カンタロヴィッチ系と関連付ける。
• 最適計画$\gamma$を用いて直線パスに沿った積分により輸送密度$\sigma$を定義し、ベクトル場$W = -\sigma \nabla u$と関連付ける。
• 陰関数定理を適用し、$g$のヘッセ行列が非退化である限り、領域のほとんど everywhere において輸送写像$T$が$C^1$正則であることを示す。
• 輸送線に沿ったヤコビ行列の行列式$\det(DT_t(x))$を分析し、$t$がほとんど everywhere で$[0,1]$に属するとき、$C(1-t)$で下から有界であることを証明する。
• 行列$F + (1-t)N$の行列式推定を用い、各線に沿って有限個の$t$値でのみ行列式が消えることから、ほとんど everywhere で正則であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的な測度が境界に集中する場合、境界コストの存在が輸送密度の$L^p$可 summability にどのように影響するか。
• RQ2 ポテンシャルにディリクレ境界条件を課した場合、ベルクマン問題とカンタロヴィッチ問題の双対性を拡張できるか。
• RQ3 最適輸送写像$T$が領域のほとんど everywhere で$C^1$正則であるための条件は何か。
• RQ4 輸送線に沿った輸送写像のヤコビ行列式の挙動は何か。また、写像の正則性とどのように関係するか。
• RQ5 境界コストが厳密に凸である点の近傍で、陰関数定理をどのように適用し、$T$の局所的$C^1$正則性を証明できるか。

主な発見

• 源および標的測度が$L^p$に属する限り、$p \geq 1$のとき、境界に特徴的な測度が集中する場合でも、輸送密度$\sigma$は$L^p(\Omega)$に属する。
• 最適輸送写像$T$は、$\Omega$のほとんど everywhere で$C^1$正則であり、特に、無視できる閉集合$N$を除く$\Omega \setminus N$で成り立つ。
• 輸送写像のヤコビ行列式は、ほとんど everywhere での$x$および$t \in [0,1]$に対して$|\det(DT_t(x))| \geq C(1-t)$を満たす。ここで$C > 0$は領域の直径、$\lambda$、$r$、および$D^2g$に依存する。
• 各輸送線に沿って、行列$F + (1-t)N$はほとんど everywhere で正則であり、その行列式は有限個の$t$値でのみ消える。
• システム$h(x,y) = 0$に陰関数定理を適用でき、$g$のヘッセ行列が非退化であれば、任意の点$a \in \Omega \cap S \cap \Omega_1$の近傍で$T$は局所的に$C^1$正則である。
• 写像$T$が$C^1$でない点の集合は無視できる。各輸送線との交わりが可算であるため、写像はほとんど everywhere で$C^1$正則である。