[論文レビュー] Optimal Unbiased Estimation for Maximal Distribution

Hanqing Jin, Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 13被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、最大順序統計量が、最大分布を有する非線形期待値空間における上側平均の最大不偏推定量であり、最小順序統計量が下側平均の最小不偏推定量であることを確立している。さらに、順序統計量と三角形配列サンプリングを用いて、一般の確率変数の非線形分布に対する漸近的に不偏な推定量を構築している。

ABSTRACT

Unbiased estimation for parameters of maximal distribution is a very fundamental problem in the statistical theory of sublinear expectation. In this paper, we proved that the maximum estimator is the largest unbiased estimator for the upper mean and the minimum estimator is the smallest unbiased estimator the the lower mean.

研究の動機と目的

• 非線形期待値空間における最大分布のパrameterの不偏推定という根本的問題に取り組む。
• 最大分布の上側平均 $\overline{\mu}$ および下側平均 $\underline{\mu}$ の最適不偏推定量を特定する。
• i.i.d.標本を用いて、一般の確率変数の非線形分布に対する一般化された漸近的不偏推定量を開発する。

提案手法

• 上側平均および下側平均の推定量として、特にi.i.d.標本の最大値および最小値である順序統計量を用いる。
• 非線形期待値下での大数の法則を適用し、法則収束が最大分布に至ることを示す。
• 標本をグループ化し、経験的平均 $M_{k,n}[\varphi]$ を計算するために、インデックススキーム $\mathrm{trn}(i,k)$ を定義する。
• グループ平均 $M_{k,n}[\varphi]$ の最大値として、漸近的に最大の不偏推定量 $\mathbb{T}_k[\varphi]$ を構築する。
• G分布フレームワークおよび非線形期待値の性質を用いて、推定量の極限分布を特徴付ける。
• 非線形期待値の凸性および自己支配性の性質を用いて、確率ベクトルの関数の期待値の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形期待値下での最大分布における上側平均 $\overline{\mu}$ の最適不偏推定量は何か？
• RQ2 非線形期待値下での最大分布における下側平均 $\underline{\mu}$ の最適不偏推定量は何か？
• RQ3 一般の確率変数の非線形分布に対する漸近的に不偏な推定量をどのように構築できるか？
• RQ4 最大値および最小値の順序統計量は、元の最大分布の分布的性質を保っているか？
• RQ5 三角形配列サンプリングスキームにおけるグループ平均 $M_{k,n}[\varphi]$ の極限的挙動は何か？

主な発見

• 最大推定量 $\max\{X_1, \dots, X_n\}$ は、上側平均 $\overline{\mu}$ の最大不偏推定量である。
• 最小推定量 $\min\{X_1, \dots, X_n\}$ は、下側平均 $\underline{\mu}$ の最小不偏推定量である。
• $M_{k,n}[\varphi]$ の $k$ 個のグループ平均の最大値は、パrameter $[\underline{\mu}_X(\varphi), \overline{\mu}_X(\varphi)]$ の最大分布に法則収束するため、漸近的に最大の不偏推定量である。
• $\varphi \in C_{b,Lip}(\mathbb{R}^d)$ に対して、経験的平均 $M_{k,n}[\varphi]$ は $n \to \infty$ のとき $M_{[\underline{\mu}_X(\varphi), \overline{\mu}_X(\varphi)]}$ に法則収束する。これにより、漸近的不偏性が保証される。
• 連続関数 $f$ に対して、$f(X_1, \dots, X_n)$ の分布は、$[\underline{\mu}, \overline{\mu}]^n$ 上での $f$ の端点によって定まる最大分布に収束する。これは、関数的への一般化を示している。
• 三角形配列インデックス $\mathrm{trn}(i,k)$ は、推定量 $\mathbb{T}_k[\varphi]$ を構築する際に、すべての標本を効率的に使用することを保証する。