[論文レビュー] Optimality Conditions for Convex Stochastic Optimization Problems in Banach Spaces with Almost Sure State Constraints

Caroline Geiersbach, Winnifried Wollner|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 33被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、反射的で分離可能なバナッハ空間における凸確率的最適化問題について、ほとんど確実な状態制約を伴い、2段階変数がボッハナー空間 $L^\infty(\Omega, X_2)$ に属する場合に、必要十分な1次最適性条件を確立する。摂動法を用い、$L^\infty$ の絶対連続部と特異部への分解を活用することで、厳密な可解性および相対的完全再建性の条件下で、ラグランジュ乗数が一般測度ではなく $L^1(\Omega, X_2^*)$ に属する可積分なベクトル値関数であることが示される。

ABSTRACT

We analyze a convex stochastic optimization problem where the state is assumed to belong to the Bochner space of essentially bounded random variables with images in a reflexive and separable Banach space. For this problem, we obtain optimality conditions that are, with an appropriate model, necessary and sufficient. Additionally, the Lagrange multipliers associated with optimality conditions are integrable vector-valued functions and not only measures. A model problem is given demonstrating the application to PDE-constrained optimization under uncertainty with an outlook for further applications.

研究の動機と目的

• 無限次元バナッハ空間における、ほとんど確実な状態制約を伴う凸確率的最適化問題の1次最適性条件を構築すること。
• 不確実性下でのPDE制約最適化において、点ごとのほとんど確実な状態制約の包括的理論の欠如に応えること。
• このような制約に関連するラグランジュ乗数が一般測度ではなく可積分関数であることを保証し、数値的取り扱いやすさを向上させること。
• ロッカフェラーとウェッツの確率的最適化理論を、有限次元の $L^\infty(\Omega, \mathbb{R}^n)$ から、反射的で分離可能なバナッハ空間を像とするボッハナー空間 $L^\infty(\Omega, X)$ に一般化すること。
• 罰則法およびバリア法の理論的基盤を提供し、ほとんど確実な状態制約を伴う問題において、良好に振る舞う乗数を保証すること。

提案手法

• 1次変数 $x_1$ が反射的で分離可能なバナッハ空間に属し、2次変数 $x_2(\omega)$ が $L^\infty(\Omega, X_2)$ に属する2段階確率的最適化問題として問題を定式化する。
• 一般化ラグランジアンを構築し、鞍点条件を導出するために摂動法を適用する。
• イェフとレヴィンの理論を用いて、$L^\infty(\Omega, X)$ の絶対連続部と特異部への分解を活用し、厳密な可解性および相対的完全再建性の下で特異部を排除する。
• ボッハナー空間設定下で、期待値関数 $E[J(x_1, x_2(\cdot))]$ の部分微分を特徴づけることで最適性条件を導出する。
• 共役関数およびサポート関数の構造を活用することで、状態制約のラグランジュ乗数が $(L^\infty(\Omega, X_2))^*$ よりも小さい空間 $L^1(\Omega, X_2^*)$ に属することを確立する。
• PDE制約最適化問題における明示的なモデル問題を通じて、最適性条件の妥当性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元バナッハ空間における、ほとんど確実な状態制約を伴う凸確率的最適化問題について、必要十分な最適性条件を導出可能か？
• RQ2 ほとんど確実な状態制約のラグランジュ乗数が、$(L^\infty(\Omega, X_2))^*$ よりも小さい空間 $L^1(\Omega, X_2^*)$ に属するための条件は何か？
• RQ3 ボッハナー空間 $L^\infty(\Omega, X)$ の特異部が最適性条件に与える影響は何か？ また、どのような条件下でその特異部を無視できるか？
• RQ4 不確実性下でのPDE制約最適化問題に、点ごとの不等式制約（ほとんど確実に成立）を課した場合、理論をどのように拡張できるか？
• RQ5 このクラスの問題において、交換可能性の原則（interchangeability principle）は有効か？ また、静的定式化と2段階定式化の等価性とはどのように関係するか？

主な発見

• 厳密な可解性および相対的完全再建性の下で、ボッハナー空間 $L^\infty(\Omega, X)$ の特異部が最適性条件から消えることが示され、ラグランジュ乗数の正則性が保証される。
• ほとんど確実な状態制約に関連するラグランジュ乗数が、一般測度ではなく $L^1(\Omega, X_2^*)$ に属する可積分関数であることが示され、数値的応用性が向上する。
• 提示された凸確率的最適化問題のクラスに対して、最適性条件は必要かつ十分である。
• 一般化ラグランジアンが明示的に展開され、等式制約および不等式制約の双対変数がボッハナー空間枠組み下でサポート関数および共役関数を通じて関連づけられる。
• モデルPDE制約問題を用いた検証を通じて、偏微分方程式における不確実性の定量化への適用可能性が示された。
• 結果として、罰則法およびバリア法が、良好に振る舞う乗数が可積分であることから、安定なアルゴリズム実装が可能であることが裏付けられた。