[論文レビュー] Optimally (Distributional-)Robust Kalman Filtering

Peter Ruckdeschel|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2010

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿は分布的不確実性下での最適ロバストカルマンフィルタリングを提示し、システム内生的および観測外生的ノイズの両方に対するミニマックスMSE問題を定式化する。トラッキング性能とノイズ抑制のバランスを取る閉形式の鞍点解を導出しており、理想的な条件付き平均がイノベーションに関して線形である場合には、計算が単純なrLSフィルタが導かれる。これは、この線形性条件の驚きの特徴付けをもたらす。

ABSTRACT

We present optimality results for robust Kalman filtering where robustness is understood in a distributional sense, i.e.; we enlarge the distribution assumptions made in the ideal model by suitable neighborhoods. This allows for outliers which in our context may be system-endogenous or -exogenous, which induces the somewhat conflicting goals of tracking and attenuation. The corresponding minimax MSE-problems are solved for both types of outliers separately, resulting in closed-form saddle-points which consist of an optimally-robust procedure and a corresponding least favorable outlier situation. The results are valid in a surprisingly general setup of state space models, which is not limited to a Euclidean or time-discrete framework. The solution however involves computation of conditional means in the ideal model, which may pose computational problems. In the particular situation that the ideal conditional mean is linear in the observation innovation, we come up with a straight-forward Huberization, the rLS filter, which is very easy to compute. For this linearity we obtain an again surprising characterization.

研究の動機と目的

• 分布的不確実性下で、システム内生的および観測外生的ノイズを両方取り入れたミニマックスロバストカルマンフィルタリングフレームワークの構築。
• 一般の状態空間モデル設定において、それらに対応するミニマックス平均二乗誤差（MSE）問題を解くこと。これは、ユークリッド空間や時変形フレームワークを越えて一般化する。
• 最適ロバストフィルタが、ハッパー型推定器に簡略化される条件を同定し、効率的な計算を可能にする。
• rLSフィルタが最適となる線形性条件の特徴付けを提供し、この性質を検証するための新しいテストを提示する。

提案手法

• 理想的なガウス状態空間モデルの周囲に分布的近傍を定式化し、ノイズによる汚染をモデル化する。
• 鞍点解析を用いてミニマックスMSE問題を解き、ロバストフィルタと対応する最悪の分布を導出する。
• 理想的な条件付き平均がイノベーションに関して線形である場合に、カルマンフィルタの直接的なハッパー化としてrLSフィルタを導入する。
• rLSフィルタが最適性を達成する条件を導出し、イノベーション空間における線形性の驚くべき特徴付けを用いる。
• 線形化を用いて、連続時間および非線形設定を含む一般の状態空間モデルに理論を適用する。
• 正則な条件付き密度関数と既知の測度を用いて、標準的な線形ガウスモデルを超えた一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布的汚染が存在する状況下で、ミニマックスロバストカルマンフィルタは、トラッキング精度とノイズ耐性の最適なトレードオフを達成する条件は何か？
• RQ2 最適ロバストフィルタは、どのような条件下で単純なハッパー型推定器（rLSフィルタ）に簡略化され、その簡略化を可能にする構造的条件は何か？
• RQ3 理想的な条件付き平均が観測イノベーションに関して線形であるかどうかをどのようにテストできるか。その統計的根拠は何か？
• RQ4 ロバストフィルタリングの文脈において、SO近傍とeSO近傍の関係は何か。この関係は、得られるフィルタのロバスト性にどのように影響するか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、非ユークリッド的、連続時間的、非線形的状態空間モデルへどのように拡張可能か？

主な発見

• 最適ロバストカルマンフィルタは、分布的不確実性下でのミニマックスMSE問題の鞍点解として導出され、トラッキング性能とノイズ抑制のバランスを取る。
• システム内生的および観測外生的ノイズの両方において、ミニマックス解は、理想モデル下での条件付き平均を含む閉形式の表現をもたらす。
• 理想的な条件付き平均がイノベーションに関して線形である場合、最適フィルタはrLSフィルタに簡略化され、計算が単純なハッパー化であり、効率的である。
• イノベーション空間における線形性の驚くべき特徴付けが導出され、この条件を検証するための新しい最適な検定が可能になる。
• rLSフィルタは、対応するeSO近傍上でミニマックスMSEバウンドを達成し、線形性条件の下で最適性が保証される。
• 適切な線形化と密度に基づく定式化を用いることで、連続時間的、非線形的、非ユークリッド的状態空間モデルへもフレームワークが一般化可能である。