[論文レビュー] Optimally Solving the MCM Problem Using Pseudo-Boolean Satisfiability

Nuno P. Lopes, Levent Aksoy+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Numerical Methods and Algorithms参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、3種類の異なるエンコーディング方式を用いて、初めてMultiple Constant Multiplication (MCM)問題を擬似ブール充足可能性(PBS)問題として形式的に定式化する。最適解を求めるための正確なアルゴリズムを提案し、minisat+とwboが他のソルバーより優れた性能を示すことを実証した。11ビット定数までのベンチマークインスタンスにおいて、第3のエンコーディングが最も優れた性能を発揮した。

ABSTRACT

In this report, we describe three encodings of the multiple constant multiplication (MCM) problem to pseudo-boolean satisfiability (PBS), and introduce an algorithm to solve the MCM problem optimally. To the best of our knowledge, the proposed encodings and the optimization algorithm are the first formalization of the MCM problem in a PBS manner. This report evaluates the complexity of the problem size and the performance of several PBS solvers over three encodings.

研究の動機と目的

• NP困難なMCM問題を、初めて擬似ブール充足可能性(PBS)問題として形式化すること。
• 汎用PBSソルバを活用してMCM問題の最適解を求める正確なアルゴリズムの設計。
• 3種類の異なるエンコーディング方式を用いて、PBSソルバのスケーラビリティと性能をMCMベンチマークインスタンスで評価すること。
• MCM問題を最適に解くために最も効果的なエンコーディングとソルバの組み合わせを特定すること。

提案手法

• MCM問題は、3種類の異なる方式でPBSにエンコードされ、それぞれが問題の制約と目的関数を擬似ブール制約付きのブール論理として表現する。
• エンコーディングは、中間定数が1から始まり、A演算（加算/減算とシフト）を用いて構築される有向無閉路グラフ(DAG)としてMCM問題をモデル化する。
• 目的関数はA演算の数を最小化することであり、DAGにおける中間定数の数を最小化することに相当する。
• PBS定式化は整数変数と線形制約を用いて加算/減算およびシフト演算を表現し、シフトは無料であると仮定し、符号は符号ビットで処理する。
• アルゴリズムは市販のPBSソルバ（bsolo, minisat+, wbo）を用いて、3つのエンコーディングのすべてにおいて最小解を探索する。
• 仮想最良ソルバ（VBS）は、ベンチマーク全体でのソルバ性能を比較するための理論的上限として用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MCM問題は、擬似ブール充足可能性(PBS)として形式化することで最適に解けるか？
• RQ2 提案された3つのPBSエンコーディングのうち、どれが解決時間とスケーラビリティの観点で最も効率的か？
• RQ3 主なPBSソルバ（bsolo, minisat+, wbo）は、MCMベンチマークインスタンスを解く際にどのように比較されるか？
• RQ4 PBSベースのMCM解法の実用的スケーラビリティ限界は、ビット幅と演算数の観点でどの程度か？

主な発見

• 第3のエンコーディングは、特に大きなMCMインスタンスにおいて、解決時間とスケーラビリティの観点で他の2つを上回った。
• minisat+とwboはbsoloよりも多くの問題を解いたが、minisat+はベンチマーク全体でより優れたスケーリング特性を示した。
• wboは全体として最も優れたパフォーマンスを発揮し、解決されたインスタンスの割合が最も高く（62.1%）、SAT/UNSATテストの平均解決時間でも最良であった。
• PBSベースのアプローチは、中程度のA演算数を伴う10〜11ビットのターゲット定数までスケーリング可能であるが、さらなる最適化なしではより大きな、より現実的な問題にはスケーリングできない。
• 自明なSAT/UNSATケースは除外され、FIRフィルターベンチマークのうち28%しか非自明ではなかったため、エンコーディングヒューリスティクスがソルバ負荷を軽減できることを示した。
• 仮想最良ソルバ（VBS）は最高の成功率（65.3%）を達成し、複数のソルバを組み合わせることで全体のパフォーマンスが向上することを示した。