[論文レビュー] Optimization in SMT with LA(Q) Cost Functions

Roberto Sebastiani, Silvia Tomasi|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2012

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 8被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、線形整数論理（LA(Q)）における有理数上の線形算術の最適化機能を拡張する2つの新しい手法を提示する。SMTソルバに分枝限定法とカットプレーン法を組み合わせることで、MathSATがLA(Q)最適化問題を効率的に解くことを可能にし、線形一般化論理的記述プログラミング（LGDP）のベンチマーク例において、専用ツールを上回る性能を示した。

ABSTRACT

In the contexts of automated reasoning and formal verification, important decision problems are effectively encoded into Satisfiability Modulo Theories (SMT). In the last decade efficient SMT solvers have been developed for several theories of practical interest (e.g., linear arithmetic, arrays, bit-vectors). Surprisingly, very few work has been done to extend SMT to deal with optimization problems; in particular, we are not aware of any work on SMT solvers able to produce solutions which minimize cost functions over arithmetical variables. This is unfortunate, since some problems of interest require this functionality. In this paper we start filling this gap. We present and discuss two general procedures for leveraging SMT to handle the minimization of LA(Q) cost functions, combining SMT with standard minimization techniques. We have implemented the proposed approach within the MathSAT SMT solver. Due to the lack of competitors in AR and SMT domains, we experimentally evaluated our implementation against state-of-the-art tools for the domain of linear generalized disjunctive programming (LGDP), which is closest in spirit to our domain, on sets of problems which have been previously proposed as benchmarks for the latter tools. The results show that our tool is very competitive with, and often outperforms, these tools on these problems, clearly demonstrating the potential of the approach.

研究の動機と目的

• 有理数算術変数上のコスト関数の最小化に対応できるSMTソルバの不足を解消すること。
• 形式検証や自動推論の分野で実用的な重要性を持つLA(Q)理論におけるSMTソルビングと最適化を統合すること。
• 標準的な最小化手法をSMTフレームワークに適応させることで、SMTソルビングと最適化の間のギャップを埋めること。
• 線形一般化論理的記述プログラミング（LGDP）という密接に関連する分野において、最先端のツールと比較して本手法の性能を評価すること。
• SMTベースの最適化がLA(Q)問題に対して、専用ソルバと同等またはそれ以上の性能を示す可能性を実証すること。

提案手法

• 最適解の探索空間を体系的に探索できるように、分枝限定法をSMTソルビングアーキテクチャに統合する。
• 最適でない領域を排除する制約を追加することで、探索空間を精緻化するためのカットプレーン技術を採用する。
• 制約の充足性をチェックするためのコアエンジンとして、既存のSMTソルバであるMathSATを活用する。
• 遅延的な節の学習とコストに基づく枝刈りを組み合わせて、最小コストの解へ向かう探索を誘導する。
• 充足性の確認とコスト低減のステップを交互に繰り返すコスト関数最小化ループを実装する。
• 有理数算術において動作するように、標準的な線形計画法緩和技術をSMTフレームワークに適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SMTソルバはLA(Q)コスト関数の最適化を効果的に拡張できるか？
• RQ2 線形一般化論理的記述プログラミング（LGDP）の分野において、SMTベースの最適化手法は専用ソルバと比べてどうか？
• RQ3 SMTソルビングと分枝限定法およびカットプレーン法を組み合わせたLA(Q)最適化の性能特性は何か？
• RQ4 SMTソルバに最適化を統合することは、専用最適化ツールと比較して実現可能で競争力があるか？
• RQ5 SMTフレームワーク内での効率的なLA(Q)最適化を可能にする主要なアルゴリズム的要素は何か？

主な発見

• 提示されたSMTベースの最適化アプローチは、特定の線形一般化論理的記述プログラミング（LGDP）に特化した最先端のツールと同等またはそれ以上の性能を示し、競争力があることが確認された。
• MathSAT内での実装により、LA(Q)コスト関数の最小化が実際に可能であることが示され、実用的な妥当性が裏付けられた。
• SMTソルバアーキテクチャに分枝限定法とカットプレーン技術を統合することで、標準ベンチマークにおいて顕著な性能向上が達成された。
• いくつかのベンチマークセットにおいて、専用LGDPソルバーよりも優れた性能を達成しており、より広範な応用の可能性が示唆された。
• LA(Q)最適化分野において、ARおよびSMTドメインに直接の競合者が存在しないため、LGDPツールとの比較評価は妥当かつ意味のあるベンチマーク戦略である。
• 結果から、SMTソルバが有理数算術上の最適化問題を効果的に拡張可能であり、分野における顕著な空白を埋めることができることが確認された。