[論文レビュー] Optimization of a Dynamic Profit Function using Euclidean Path Integral

Paramahansa Pramanik, Alan M. Polansky|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2020

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ワルラス的、パレート的、非協力的ナッシュ均衡条件の下で動的利益関数を最適化するための、ユークリッド経路積分法の新規応用を提示する。ファインマン型経路積分とウィック回転を活用することで、従来のポントレヤーギン法では失敗する非線形確率的微分ゲーム（例：メルトン＝ガーマン＝ハミルトニアン系）を解き、線形制約と確率的ダイナミクスの下で加法的でない凸戦略の閉形式解を可能にする。

ABSTRACT

A Euclidean path integral is used to find an optimal strategy for a firm under a Walrasian system, Pareto optimality and a non-cooperative feedback Nash Equilibrium. We define dynamic optimal strategies and develop a Feynman type path integration method to capture all non-additive convex strategies. We also show that the method can solve the non-linear case, for example Merton-Garman-Hamiltonian system, which the traditional Pontryagin maximum principle cannot solve in closed form. Furthermore, under Walrasian system we are able to solve for the optimal strategy under a linear constraint with a linear objective function with respect to strategy.

研究の動機と目的

• 従来の最適制御手法が失敗する確率的環境における動的利益関数の最適化のための経路積分に基づく手法を開発すること。
• ユークリッド経路積分を用いることで、メルトン＝ガーマン＝ハミルトニアン系のような非線形系への最適制御の適用範囲を拡張すること。
• ワルラス的、パレート的、非協力的フィードバックナッシュ均衡の3つの経済的均衡フレームワークの下での最適戦略を導出すること。
• 有界で完備な関数空間を持つ確率的微分ゲーム設定において、経路積分形式の収束性と存在条件を確立すること。
• 線形制約と線形目的関数の下で、非摂動的経路積分アプローチを用いて利益最大化問題を解くこと。

提案手法

• 時間経過にわたる累積的利益積分の期待値を表すために、ファインマン型経路積分形式を用い、市場シェアおよび戦略の全可能な軌道にわたって統合する。
• 確率過程をユークリッド作用関数へ変換するためにウィック回転を適用し、量子場理論に由来する経路積分技法を可能にする。
• 経路積分の根幹をなすユークリッド作用関数 $\mathcal{A}_{0,t}(x)$ を定義し、利益関数およびダイナミクス関数から導出する。滑らかさおよび有界導関数条件を満たすことで収束を保証する。
• 絶対収束を保証するため、$\omega_\varepsilon(x)$ 関数を用いた正則化スキームを採用し、$\varepsilon \to 0$ の極限を取る。
• 小さな時間間隔における局所的遷移関数 $\Psi_{s,s+\Delta s}(x)$ を導入し、再帰的にグローバルな経路積分解を構築する。これにより確率的ダイナミクスと整合性を保つ。
• 経路積分表現の存在および収束を保証するため、利益関数および作用関数に滑らかさおよび有界導関数条件（仮定1および2）を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド作用関数に基づく経路積分形式は、ポントレヤーギンの最大原理が失敗する非線形確率的微分ゲームにおいて、動的利益最大化問題を解けるか？
• RQ2 ファインマン経路積分法は、非加法的凸戦略を含む確率的動的最適化設定にどのように適合できるか？
• RQ3 ワルラス的、パレート的、ナッシュ均衡制約下での動的利益関数に対して、ユークリッド経路積分が収束する条件は何か？
• RQ4 本手法は、非線形確率的制御問題たるメルトン＝ガーマン＝ハミルトニアン系に対して、閉形式の最適戦略を導出できるか？
• RQ5 戦略に対する線形制約および線形目的関数は、経路積分形式の可解性および構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 経路積分形式は、古典的ポントレヤーギン最大原理では解けないメルトン＝ガーマン＝ハミルトニアン系を閉形式で解くことに成功した。
• 本手法は、各企業が同一の市場ダイナミクスに直面し、時間経過にわたる期待利益を最大化することを目的とするワルラス均衡下で、一貫した最適戦略の導出フレームワークを提供する。
• パレート最適性の文脈では、企業間の利益の重み付き和を最大化する経路積分アプローチが有効であり、最適戦略は単一のグローバル作用関数から導出される。
• 非協力的フィードバックナッシュ均衡では、他の企業の戦略が固定されているという仮定の下で、各企業の最適戦略が一貫して導出される。
• 仮定1および2の下で、経路積分の収束が厳密に確立された。これらは利益関数および作用関数の滑らかさおよび有界導関数を要請する。
• ウィック回転後のユークリッド作用関数 $\mathcal{A}_{0,t}(x)$ は、$G[s,x(s),u(s)] \geq 0$ のとき、条件付き期待値項が非負のままであることを保証し、物理的および経済的解釈可能性を維持する。