[論文レビュー] Optimization of the $H_\infty$-norm of Dynamic Flow Networks

Alexander Johansson, Jieqiang Wei+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Interconnection Networks and Systems参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、配管網などの分配システムをモデル化する動的フローネットワークの$τ}_\infty$-ノルムを最小化する最適化フレームワークを提示する。エッジ重み（例：管の容量）の割り当てを通じて実現される。線形行列不等式（LMIs）を用いて、1入力1出力（SISO）システムでは、$τ}_\infty$-ノルムがソースノードとシンクノード間の有効抵抗に等しくなることを示し、グラフの代数的連結度を用いた上界を導出することで、不確実性下でもロバストな設計が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we study the $H_\infty$-norm of linear systems over graphs, which is used to model distribution networks. In particular, we aim to minimize the $H_\infty$-norm subject to allocation of the weights on the edges. The optimization problem is formulated with LMI (Linear-Matrix-Inequality) constraints. For distribution networks with one port, i.e., SISO systems, we show that the $H_\infty$-norm coincides with the effective resistance between the nodes in the port. Moreover, we derive an upper bound of the $H_\infty$-norm, which is in terms of the algebraic connectivity of the graph on which the distribution network is defined.

研究の動機と目的

• 外部の摂動に対するロバスト性を定量化する線形動的フローネットワークの$\mathcal{H}_\infty$-ノルムを最小化すること。
• 線形行列不等式（LMIs）を用いた凸最適化フレームワークを構築し、エッジ重み（例：管の容量）の割り当てによって最小$\mathcal{H}_\infty$-ノルムを達成すること。
• $\mathcal{H}_\infty$-ノルムと有効抵抗や代数的連結度などのグラフ理論的量との関係を確立すること。
• 入力行列$E$の完全な知識が得られない状況において、部分的に最適でロバストな設計戦略を提供すること。

提案手法

• エッジ重みにLM制約を課した凸最適化問題として、$\mathcal{H}_\infty$-ノルム最小化問題を定式化する。
• 状態空間が対称であるシステムでは、$\mathcal{H}_\infty$-ノルムが周波数0で達成されることを用い、解析を簡略化する。
• リカッチ不等式を符号付きグラフ（正負のエッジ重みを有する）におけるラプラシアン行列の定性条件として解釈する。
• 入力行列$E = e_i - e_j$を有するSISOシステムに対して、$\mathcal{H}_\infty$-ノルムがノード$i$と$j$の間の有効抵抗に等しいことを証明する。
• 基礎となるグラフの代数的連結度$\lambda_2(L_w)$を用いて、$\mathcal{H}_\infty$-ノルムの上界を導出する。
• 全容量制約$\sum \omega_i = c$の下で、YALMIPを用いて数値的に最適化を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的フローネットワークの$\mathcal{H}_\infty$-ノルムを、エッジ重みの最適割り当てによってどのように最小化できるか。
• RQ2 SISO動的フローネットワークにおいて、$\mathcal{H}_\infty$-ノルムと有効抵抗の関係は何か。
• RQ3 グラフの代数的連結度のみを用いて、$\mathcal{H}_\infty$-ノルムの上界を導出できるか。
• RQ4 入力行列$E$が部分的に不明な場合、どのようにしてロバスト性を確保できるか。

主な発見

• SISO動的フローネットワークでは、$\mathcal{H}_\infty$-ノルムがソースノードとシンクノード間の有効抵抗に正確に等しい。
• 数値例において最適な管容量割り当ては$w_{12}^* = 0.6$、$w_{24}^* = 0.4$であり、最小$\mathcal{H}_\infty$-ノルムは$\gamma^* = 5$となる。
• テスト入力信号下で$\|y(t)\|_2 \leq \gamma^* \|d(t)\|_2$が成り立つことから、$\mathcal{H}_\infty$-ノルムが数値的に検証された。
• 代数的連結度$\lambda_2(L_w)$にのみ依存する$\mathcal{H}_\infty$-ノルムの上界が導出され、不確実性下でのロバスト設計が可能になる。
• 全容量制約の下で代数的連結度を最大化することで、$E$が不明な場合でも部分的に最適で有界な解が得られる。