[論文レビュー] Optimized Projections for Compressed Sensing via Direct Mutual Coherence Minimization

Canyi Lu, Huan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 21被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、収束が保証される滑らか化および交互最小化アルゴリズムを用いて、投影行列の最適化により、圧縮センシングにおける投影辞書の相互コherenceを直接最小化する新規な手法を提案する。この手法は、成功した信号再構成の鍵要因である相互コherenceを直接標的とすることで、従来の手法よりも優れたスパース信号再構成を達成する。

ABSTRACT

Compressed Sensing (CS) is a novel technique for simultaneous signal sampling and compression based on the existence of a sparse representation of signal and a projected dictionary $PD$, where $P\in\mathbb{R}^{m imes d}$ is the projection matrix and $D\in\mathbb{R}^{d imes n}$ is the dictionary. To exactly recover the signal with a small number of measurements $m$, the projected dictionary $PD$ is expected to be of low mutual coherence. Several previous methods attempt to find the projection $P$ such that the mutual coherence of $PD$ can be as low as possible. However, they do not minimize the mutual coherence directly and thus their methods are far from optimal. Also the solvers they used lack of the convergence guarantee and thus there has no guarantee on the quality of their obtained solutions. This work aims to address these issues. We propose to find an optimal projection by minimizing the mutual coherence of $PD$ directly. This leads to a nonconvex nonsmooth minimization problem. We then approximate it by smoothing and solve it by alternate minimization. We further prove the convergence of our algorithm. To the best of our knowledge, this is the first work which directly minimizes the mutual coherence of the projected dictionary with a convergence guarantee. Numerical experiments demonstrate that the proposed method can recover sparse signals better than existing methods.

研究の動機と目的

• 従来の手法が圧縮センシングの投影設計において相互コherenceを直接最小化しないという制限に対処すること。
• 投影辞書 PD の相互コherence を最小化するように投影行列 P を最適化するアルゴリズムを開発すること。
• 従来の手法が欠如している最適化プロセスの収束を保証すること。
• 相互コherence を直接最小化することにより、再構成成功の主要要因であるスパース信号再構成性能を向上させること。

提案手法

• 投影辞書 PD の相互コherence の非凸的・非滑らか性最小化問題として問題を定式化する。
• 非滑らか性を解消するために、相互コherence 目的関数を滑らか化して最適化に適した形に変換する。
• 反復的に投影行列 P と補助変数を更新するための交互最小化スキームを採用する。
• 強い凸性およびリプシッツ連続性の性質を用いて収束保証が得られる近接勾配法を用いる。
• 相互コherence の微分不能性に対処するための滑らか化近似を導入する。
• 反復点の下降性と有界性を示すことで、アルゴリズムのグローバル収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 投影辞書 PD における相互コherence の直接最小化は、圧縮センシングにおけるより優れたスパース信号再構成をもたらすか？
• RQ2 収束保証を備えた相互コherence を直接最適化するアルゴリズムは、従来の間接的手法を上回る性能を発揮するか？
• RQ3 提示された滑らか化および交互最小化スキームは、非凸的・非滑らか設定においてどのように収束を保証するか？
• RQ4 低相互コherence は、バシスプルーリングおよび OMP アルゴリズムの再構成性能にどのような影響を与えるか？
• RQ5 提案手法は、最先端の投影設計技術と比較して、より少ない測定回数でより高い再構成精度を達成できるか？

主な発見

• 提案手法は、正確なスパース信号再構成を保証する上で鍵要因である投影辞書 PD の相互コherence を直接最小化する。
• 従来の手法が収束解析を欠いているのに対し、本アルゴリズムは理論的保証付きで収束を達成する。
• 数値実験の結果、提案手法は既存の最先端手法と比較して、より高精度なスパース信号再構成を実現する。
• 滑らか化および交互最小化戦略は、相互コherence 最小化問題の非凸的・非滑らか性を効果的に扱う。
• さまざまなスパース信号再構成タスクにおいて、再構成誤差と成功確率の両面で性能が向上することが示された。
• 理論的分析により、反復点が有界であり、目的関数が単調に減少することが確認され、定常点への収束を支持する。