[論文レビュー] Optimizing certain combinations of spectral and linear$/$distance functions over spectral sets

M. Seetharama Gowda|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

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ひとこと要約

本稿は、さまざまな代数的構造におけるスペクトル集合上で、スペクトル的・線形的・距離関数の組み合わせを最適化するための統一的枠組みであるファン＝トーボルド＝ヴァン・ニューマン（FTvN）系を導入する。この枠組みにより、スペクトル集合上の最適化問題が固有値写像の像上の対応する問題に等価であることが示され、最適値が可換性条件を満たす場合に達成されることを示し、ジョルダン代数、正規分解系、双曲的多項式における古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

In the settings of Euclidean Jordan algebras, normal decomposition systems (or Eaton triples), and structures induced by complete isometric hyperbolic polynomials, we consider the problem of optimizing a certain combination (such as the sum) of spectral and linear$/$distance functions over a spectral set. To present a unified theory, we introduce a new system called Fan-Theobald-von Neumann system which is a triple $(V,W,λ)$, where $V$ and $W$ are real inner product spaces and $λ:V ightarrow W$ is a norm preserving map satisfying a Fan-Theobald-von Neumann type inequality together with a condition for equality. In this general setting, we show that optimizing a certain combination of spectral and linear$/$distance functions over a set of the form $E=λ^{-1}(Q)$ in $V$, where $Q$ is a subset of $W$, is equivalent to optimizing a corresponding combination over the set $λ(E)$ and relate the attainment of the optimal value to a commutativity concept. We also study related results for convex functions in place of linear$/$distance functions. Particular instances include the classical results of Fan and Theobald, von Neumann, results of Tam, Lewis, and Bauschke et al., and recent results of Ramirez et al. As an application, we present a commutation principle for variational inequality problems over such a system.

研究の動機と目的

• ユークリッド的ジョルダン代数、正規分解系、双曲的多項式構造の間で最適化結果を統一・一般化すること。
• スペクトル集合上の最適化とその固有値写像による像上の最適化の間の同値性を保証する最小限の公理集合——ファン＝トーボルド＝ヴァン・ニューマン系として要約される——を同定すること。
• スペクトル関数と線形関数・距離関数・凸関数の組み合わせに対する、古典的スペクトル最適化結果の拡張。
• このような最適化問題における最適値の達成を特徴付ける可換性条件を確立すること。
• この一般化された設定における変分不等号問題のための可換性原理を提供すること。

提案手法

• FTvN系を三元組 $({\cal V}, {\cal W}, \lambda)$ として定義し、$\lambda: {\cal V} \to {\cal W}$ をノルムを保つ写像とし、ファン＝トーボルド＝ヴァン・ニューマン型の不等式と等号条件を満たすものとする。
• 部分集合 $Q \subseteq {\cal W}$ に対して $E = \lambda^{-1}(Q)$ として定義されるスペクトル集合と、$\Phi = \phi \circ \lambda$ として定義されるスペクトル関数を導入する。
• 同値定理を導出：$\sup_E(f + \Phi) = \sup_{\lambda(E)}(f^* + \phi)$ および $\inf_E(g + \Phi) = \inf_{\lambda(E)}(g_* + \phi)$ であり、$f^*$ と $g_*$ は ${\cal W}$ 上に誘導される関数である。
• 最適値が達成されるための必要十分条件として、最適化子 $x$ がパラメータ $c$ と可換である、すなわち $\langle c, x \rangle = \langle \lambda(c), \lambda(x) \rangle$ を満たすことが示される。
• この枠組みを用いて、ユークリッド的ジョルダン代数、エイトン三重系、双曲的多項式からの既知の結果を回復・一般化する。
• 実内積空間上の非恒等的等長線形写像を用いて、正規分解系でもユークリッド的ジョルダン代数でもない、新しい非自明なFTvN系の構成を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョルダン代数やエイトン三重系のような古典的設定を超えて、スペクトル集合上の最適化とその固有値写像による像上の最適化の間の同値性を一般化することは可能か？
• RQ2 スペクトル集合上でスペクトル関数と線形／距離関数の和を最適化する問題が、像空間上での最適化に還元されるのを保証する最小限の公理的構造は何か？
• RQ3 意思決定変数と問題パラメータの間の可換性条件として、最適値の達成をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 このような最適化同値性において、線形関数や距離関数の代わりに凸関数を用いることはどの程度可能か？
• RQ5 ユークリッド的ジョルダン代数や正規分解系とは同型でない、非自明なFTvN系の例は存在するか？

主な発見

• スペクトル集合 $E = \lambda^{-1}(Q)$ 上での $f + \Phi$ の最適化は、$\lambda(E)$ 上での $f^* + \phi$ の最適化と同値であり、$\sup_E(f + \Phi) = \sup_{\lambda(E)}(f^* + \phi)$ および $\inf_E(g + \Phi) = \inf_{\lambda(E)}(g_* + \phi)$ が成り立つ。
• 最適値が達成されるのは、最適化子 $x$ が $\langle c, x \rangle = \langle \lambda(c), \lambda(x) \rangle$ を満たす場合に限る。これはFTvN系における可換性条件を定義する。
• この枠組みにより、古典的結果が回復・一般化される：ファンの不等式、ヴァン・ニューマンのトレース不等式、トーボルドのトレース最小化、およびタムの対称錐に関する結果。
• 本稿では、$S$ を $90^\circ$ 回転とする、${\mathbb{R}}^2, {\mathbb{R}}^2, S$ からなる非自明なFTvN系 $({\mathbb{R}}^2, {\mathbb{R}}^2, S)$ を構成し、これは正規分解系でもユークリッド的ジョルダン代数でもない。
• 変分不等号問題のための可換性原理が確立される：スペクトル集合上でのVI問題の解は、$\lambda$ による像空間上での解に対応し、同じ可換性条件を満たす。
• 同値性結果は和に限らず、線形関数や距離関数の代わりに凸関数を含むような関数の他の組み合わせに対しても成り立つ。