[論文レビュー] Optimizing MGRIT and Parareal coarse-grid operators for linear advection

Hans De Sterck, Robert D. Falgout+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、線形移流問題に適用されたMGRITおよびPararealスolverにおける、最適化された粗格子作用素の提案を行う。標準の再離散化に代えて、最適化により導出された特徴線に配慮した作用素を用いる。粗格子上で特徴線を追跡することで、さまざまな時間刻み法に対して数回の反復でスケーラブルな収束を達成し、双曲型PDEにおける長年のスケーラビリティの問題を解決する。

ABSTRACT

Parallel-in-time methods, such as multigrid reduction-in-time (MGRIT) and Parareal, provide an attractive option for increasing concurrency when simulating time-dependent PDEs in modern high-performance computing environments. While these techniques have been very successful for parabolic equations, it has often been observed that their performance suffers dramatically when applied to advection-dominated problems or purely hyperbolic PDEs using standard rediscretization approaches on coarse grids. In this paper, we apply MGRIT or Parareal to the constant-coefficient linear advection equation, appealing to existing convergence theory to provide insight into the typically non-scalable or even divergent behavior of these solvers for this problem. To overcome these failings, we replace rediscretization on coarse grids with improved coarse-grid operators that are computed by applying optimization techniques to approximately minimize error estimates from the convergence theory. One of our main findings is that, in order to obtain fast convergence as for parabolic problems, coarse-grid operators should take into account the behavior of the hyperbolic problem by tracking the characteristic curves. Our approach is tested for schemes of various orders using explicit or implicit Runge-Kutta methods combined with upwind-finite-difference spatial discretizations. In all cases, we obtain scalable convergence in just a handful of iterations, with parallel tests also showing significant speed-ups over sequential time-stepping. Our insight of tracking characteristics on coarse grids provides a key idea for solving the long-standing problem of efficient parallel-in-time integration for hyperbolic PDEs.

研究の動機と目的

• 標準の粗格子再離散化を用いた場合にMGRITおよびPararealが移流優勢で双曲型PDEにおいてスケーラビリティや収束性に劣ることを是正すること。
• 収束理論からの誤差推定を分析することで、標準的手法が線形移流問題においてなぜ失敗するのかを特定すること。
• 特に特徴線の挙動を考慮した、双曲型問題の特性を反映する改善された粗格子作用素の開発。
• 最適化に基づく作用素設計を用いて、線形移流問題における並列時間解法のスケーラブルで高速な収束を実現すること。
• 明示的および陰的ルンゲ＝クッタ法（上流差分を用いたもの含む）を含む、複数の時間積分スキームにおける手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 既存の収束理論からの誤差推定を最小化する手法を用いて、標準の粗格子再離散化に代わる最適化された作用素を導出する。
• 特徴線を追跡することで、移流の方向性を反映する作用素を最適化技術を用いて構築する。
• MGRITおよびPararealの両者に適用可能であり、同一の最適化作用素を両者に共通して使用する。
• 定数係数を有する線形移流問題を想定し、細かめの格子での空間離散化（例：上流差分）と整合性を持つように作用素を設計する。
• 明示的および陰的ルンゲ＝クッタ法を含む、さまざまな時間積分スキームを用いて、耐障害性およびスケーラビリティを評価する。
• 並列性能を評価し、逐次時間刻み法に比べて著しい高速化を確認することで、高性能コンピューティング環境における実用的価値を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準の粗格子再離散化を用いた場合に、MGRITおよびPararealが線形移流問題において収束しない、または効率的にスケーリングできないのはなぜか？
• RQ2 移流優勢PDEの双曲型特性を反映するように、粗格子作用素をどのように改善できるか？
• RQ3 特徴線は、並列時間法における効果的な粗格子作用素の設計において、どのような役割を果たすか？
• RQ4 粗格子作用素の最適化により、線形移流問題において数回の反復でスケーラブルな収束を達成できるか？
• RQ5 提案された作用素は、異なる時間積分スキームおよび空間離散化に対して、どの程度耐障害性を維持できるか？

主な発見

• 提案された最適化された粗格子作用素は、線形移流問題において数回の反復でスケーラブルな収束を達成し、標準的なMGRITおよびParareal手法の典型的な非スケーラビリティ問題を解決する。
• 粗格子作用素に特徴線の追跡を組み込むことで、誤差の伝搬が顕著に低減され、収束が著しく加速される。
• 明示的および陰的ルンゲ＝クッタ法を含む、複数の時間積分スキームに対して有効であり、広範な適用可能性を示す。
• 細かめの格子で上流差分が用いられている場合ですら、標準の再離散化よりも最適化作用素が優れている。
• 並列性能評価により、逐次時間刻み法に比べて顕著な高速化が確認され、高性能コンピューティング環境における実用的妥当性が裏付けられる。