[論文レビュー] Optimizing n-variate (n+k)-nomials for small k

Philippe Pébaÿ, J. Maurice Rojas+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2009

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、実数の指数と係数をもつn変数(n+2)項多項式の最大化に、多項式時間近似スキームを提示する。精度を高めるために体演算と不等式の検査を用い、拡張されたヴィロ図とA-判別式理論を実数の指数に拡張することで、nに関して二次的で、条件数の対数に関して線形的な複雑さの境界を達成する。これは、スパース多項式最適化において、従来の指数的境界に比べて顕著な改善をもたらす。

ABSTRACT

We give a high precision polynomial-time approximation scheme for the supremum of any honest n-variate (n + 2)-nomial with a constant term, allowing real exponents as well as real coefficients. Our complexity bounds count field operations and inequality checks, and are quadratic in n and the logarithm of a certain condition number. For the special case of n-variate (n+2)-nomials with integer exponents, the log of our condition number is sub-quadratic in the sparse size. The best previous complexity bounds were exponential in the sparse size, even for n fixed. Along the way, we partially extend the theory of Viro diagrams and A-discriminants to real exponents. We also show that, for any fixed δ>0, deciding whether the supremum of an n-variate ( n+n δ)-nomial exceeds a given number is NPR-complete.

研究の動機と目的

• 実数の指数と係数をもつn変数(n+2)項多項式の最適化のための高精度で多項式時間の近似スキームを開発すること。
• 固定されたnに対しても指数的境界しか得られなかった、このような多項式を最大化する計算複雑さを低減すること。
• ヴィロ図とA-判別式の理論を実数の指数にまで拡張すること。
• δ > 0 に対して (n+n^δ)-項多項式を最大化する問題の計算複雑さを特定し、NPR完全性を示すこと。

提案手法

• 目的の精度内での近似を計算するために体演算と不等式の検査を用い、複雑さがnに関して二次的で、条件数の対数に関して線形的な境界を持つ。
• ヴィロ図とA-判別式を実数の指数に拡張し、多項式の挙動に関する幾何学的・代数的解析を可能にする。
• 条件数は、整数の指数の場合、その対数が多項式のスパースサイズに関して二次未満になるように定義される。
• 定数項をもつ誠実なn変数(n+2)項多項式に適用可能であり、適切な定式化と収束性を保証する。
• スパース多項式の構造的性質を活用して、全探索を避け、計算の爆発的増加を低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数の指数と係数をもつn変数(n+2)項多項式の最大化に、多項式時間近似スキームを開発できるか？
• RQ2 このような多項式の最大化の複雑さは、nとスパースサイズに関してどのようにスケーリングするか。特に、過去の境界が指数的であった場合に。
• RQ3 ヴィロ図とA-判別式の理論を実数の指数にまでどの程度一般化できるか。
• RQ4 δ > 0 に対して、n変数(n+n^δ)-項多項式の上界が与えられた値を超えるかどうかを決定する計算複雑さは何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、nに関して二次的で、条件数の対数に関して線形的な複雑さの多項式時間近似を達成し、従来の指数的境界に比べ顕著な改善を示す。
• n変数(n+2)項多項式に整数の指数が適用される場合、条件数の対数はスパースサイズに関して二次未満であり、スケーラビリティを保証する。
• ヴィロ図とA-判別式の理論は実数の指数に部分的に拡張され、多項式最適化における新たな幾何的洞察を可能にする。
• 任意の固定されたδ > 0 に対して、n変数(n+n^δ)-項多項式の上界が与えられた値を超えるかどうかを決定することはNPR完全であることが示され、ハードネスの閾値が確立された。