[論文レビュー] Optimizing Pinning Control of Complex Dynamical Networks Based on Spectral Properties of Grounded Laplacian Matrices

Hui Liu, Xuanhong Xu+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2018

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 51被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ピン留めノードに対応する行と列を削除して得られる接地ラプラシアン行列の最小固有値（λ₁）を最大化することにより、複雑な力学的ネットワークにおけるピン留め制御を最適化する代数的グラフ理論的基準を提案する。ネットワークのトポロジーに由来するスペクトル的性質、例えばラプラシアン固有値スペクトル、制御されていないノードの最小次数、および集合間エッジ数を用いて、最適なノード選択戦略を同定する。主な発見は、ピン留め比が小さい場合には高次ノードが最適であり、比が大きい場合には低次ノードがより優れた性能を示すことであり、スケールフリーネットワーク、スモールワールドネットワーク、および実世界のネットワークにおいて検証された。

ABSTRACT

Pinning control of a complex network aims at forcing the states of all nodes to track an external signal by controlling a small number of nodes in the network. In this paper, an algebraic graph-theoretic condition is introduced to optimize pinning control. When individual node dynamics and coupling strength of the network are given, the effectiveness of pinning scheme can be measured by the smallest eigenvalue of the grounded Laplacian matrix obtained by deleting the rows and columns corresponding to the pinned nodes from the Laplacian matrix of the network. The larger this smallest eigenvalue, the more effective the pinning scheme. Spectral properties of the smallest eigenvalue are analyzed using the network topology information, including the spectrum of the network Laplacian matrix, the minimal degree of uncontrolled nodes, the number of edges between the controlled node set and the uncontrolled node set, etc. The identified properties are shown effective for optimizing the pinning control strategy, as demonstrated by illustrative examples. Finally, for both scale-free and small-world networks, in order to maximize their corresponding smallest eigenvalues, it is better to pin the nodes with large degrees when the percentage of pinned nodes is relatively small, while it is better to pin nodes with small degrees when the percentage is relatively large. This surprising phenomenon can be explained by one of the theorems established.

研究の動機と目的

• 複雑なネットワークにおけるピン留め制御のための最適なノード選択に関する深い理解の欠如に対処すること。
• 接地ラプラシアン行列のスペクトル的性質に基づいてピン留め制御の有効性を測る基準を構築すること。
• ネットワークのトポロジー情報を利用して、最小固有値（λ₁）の解析的に取り扱いやすい上限と性質を導出すること。
• 制御効率を最大化するようにピン留めノードを系統立てて選択する戦略を提供すること。
• 提案手法をスケールフリーネットワーク、スモールワールドネットワーク、および実世界のネットワーク（dolphinネットワークとemailネットワークを含む）に対して検証すること。

提案手法

• ピン留め制御方式の有効性は、ピン留めノードに対応する行と列を削除して得られる接地ラプラシアン行列の最小固有値（λ₁）によって測定される。
• グラフ理論および行列解析の道具を用いて、λ₁の理論的上限が導出される。これには、全ネットワークのラプラシアン行列の（l+1）番目に小さい固有値、制御されていないノードの最小次数、および制御済み集合と非制御集合間のエッジの平均数が含まれる。
• これらのスペクトル的性質に基づいてλ₁を最大化するように、ピン留めノードを特定するアルゴリズム（アルゴリズム1）が提案される。
• 本手法は、スターネットワーク、ダブルスターグラフ、完全連結グラフ、スケールフリーネットワーク、スモールワールドネットワーク、および実世界のネットワーク（dolphinネットワークとemailネットワーク）を含む多様なネットワークタイプに適用される。
• 数値シミュレーションにより、本手法と次数ベースおよび媒介性中心性（BC）ベースのピン留め方式を比較し、λ₁を性能指標として用いる。
• 理論的分析およびシミュレーションにより、最適なノード選択戦略はピン留め比に依存することが示された：比が小さい場合には高次ノードが優れており、比が大きい場合には低次ノードがより高いλ₁を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接地ラプラシアン行列のどのスペクトル的性質がピン留め制御の有効性を予測・最適化するために利用可能か？
• RQ2 接地ラプラシアン行列の最小固有値λ₁は、ノード次数やエッジ分布などのネットワークトポロジー特徴とどのように関係しているか？
• RQ3 制御ノード数が固定されている場合、最適なピン留めノード選択戦略は何か？
• RQ4 ピン留め比（すなわちピン留めノード数）が変化する際、最適なノード選択戦略はどのように変化するか？
• RQ5 λ₁のスペクトル的上限を用いて、効率的なピン留め制御アルゴリズムの設計を支援できるか？

主な発見

• 接地ラプラシアン行列の最小固有値λ₁は、ピン留め制御の有効性を信頼できる指標として機能する：λ₁が大きいほど制御方式はより効果的である。
• dolphinネットワークでは、アルゴリズム1により14個のノードをピン留めした結果λ₁ = 0.5038を達成し、次数ベース（0.5615）およびBCベース（0.5247）の手法を上回った。
• emailネットワークでは、266個のノードをピン留めした結果、アルゴリズム1によりλ₁ = 0.3986を達成し、次数ベース（0.3344）およびBCベース（0.3334）の手法を上回った。
• ピン留め比が小さい場合には高次ノードを選択することでλ₁が最大化されるが、比が大きい場合には低次ノードを選択したほうがλ₁が高くなるという、直感に反するが解析的に説明可能な現象が確認された。
• λ₁の上界は、全ネットワークのラプラシアン行列の（l+1）番目に小さい固有値によって与えられ、制御すべき最小ノード数の理論的推定値を提供する。
• 制御されていないノードの最小次数および制御済み集合と非制御集合間のエッジの平均数は、λ₁の有用な上界を提供する。これにより、全固有値の計算を実行せずに実用的な推定が可能になる。