[論文レビュー] Optimizing Quantum Circuits for Arithmetic

Thomas Häner, Martin Roetteler+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、区分的多項式近似と古典的高性能計算の知見を活用して、arcsin(x)、1/√x、ガウス関数、三角関数といった基本的な算術関数を評価する最適化された可逆的量子回路を提示する。並列化されたホーナー法と最適化されたニュートン・ラプソン反復を用いることで、トフォリゲート数とキュービット数を顕著に削減し、HHLや量子リジェクションサンプリングといった量子アルゴリズムのより正確なコスト解析を可能にする。

ABSTRACT

Many quantum algorithms make use of oracles which evaluate classical functions on a superposition of inputs. In order to facilitate implementation, testing, and resource estimation of such algorithms, we present quantum circuits for evaluating functions that are often encountered in the quantum algorithm literature. This includes Gaussians, hyperbolic tangent, sine/cosine, inverse square root, arcsine, and exponentials. We use insights from classical high-performance computing in order to optimize our circuits and implement a quantum software stack module which allows to automatically generate circuits for evaluating piecewise smooth functions in the computational basis. Our circuits enable more detailed cost analyses of various quantum algorithms, allowing to identify concrete applications of future quantum computing devices. Furthermore, our resource estimates may guide future research aiming to reduce the costs or even the need for arithmetic in the computational basis altogether.

研究の動機と目的

• 量子算術関数の詳細なリソース見積もりが不足していること（古典的・量子アルゴリズムのクロスオーバー点に顕著に影響を与える）を是正する。
• 1/√x、arcsin(x)、ガウス関数などの関数の非効率な実装が引き起こす量子アルゴリズムにおける高い定数オーバーヘッドを低減する。
• HHL、量子メトロポリスサンプリング、量子機械学習といった量子アルゴリズムの正確なコスト解析を可能にするために、再利用可能で可逆的な量子回路を提供する。
• 古典的高性能計算の知見を活用して、計算基底における滑らかで区分的滑らかな関数を評価する際のリソースコスト（トフォリゲート数、キュービット数）を最小化する。

提案手法

• 滑らかな関数に対して、並列化されたホーナー法を用いて複数の多項式を同時にかつ条件付きに評価することで、区分的多項式近似を実装する。
• Quake III Arenaの高速逆平方根アルゴリズムを、調整された初期推定値で最適化して適用し、ニュートン反復回数を20–25%削減し、トフォリゲート数を最小化する。
• 完全な可逆性（トフォリゲートレベルまで）を保証するため、インプレース定数加算器や制御付きスワップといった可逆算術回路を低レベル演算に用いる。
• 定義域の部分領域におけるミニマックス多項式近似を適用することで、低次の多項式で高い精度を達成し、ゲート数を削減する。
• 平方根、逆平方根、多項式評価のサブルーチンを、LiQUi|⟩ や Q# といった言語と互換性のあるモジュラー量子ソフトウェアスタックに統合する。
• トフォリ回路シミュレータを用いた可逆シミュレーションにより回路を検証し、数百度のキュービットまでテストを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆的量子環境において、区分的多項式近似を効率的に実装する方法は何か？ これにより、トフォリゲート数とキュービット数のコストを最小化できるか？
• RQ2 量子ドメインにおけるニュートン・ラプソン反復において、逆平方根計算の反復回数を最小化するための最適な初期推定値戦略は何か？
• RQ3 CephesライブラリやQuake IIIの高速逆平方根に見られるような、古典的高性能計算技術は、どの程度量子算術に適応可能か？
• RQ4 arcsin(x)、1/√x、ガウス関数といった主要関数を可逆的量子回路で実装する際の正確なリソースコスト（トフォリゲート数、キュービット数）は何か？
• RQ5 多項式の次数と部分区間への分割戦略の選択が、量子関数評価の精度とリソースコストに与える影響は何か？

主な発見

• 初期推定値を最適化することで、逆平方根のニュートン反復回数を20–25%削減し、直接的にトフォリゲート数を削減した。
• arcsin(x)の実装では、x ∈ [−0.5, 0.5] の範囲で sin(x) を1回のみ呼び出すだけでよく、次数dの多項式近似ではトータルのトフォリゲート数がO(dn²)に比例する。
• [-0.5, 0.5]区間で10⁻⁵の精度を達成する場合、arcsin(x)は6つの部分区間に分割し、8,370トフォリゲートと232キュービットを要する。一方、10⁻⁵誤差でsin(x)を評価するには、2キュービット/係数で10,661トフォリゲートが必要となる。
• 可逆的高速逆平方根は、3–5回のニュートン反復で信頼性高く収束し、n = 50ビット、p = 5小数ビットの条件下でL∞誤差が10⁻⁵未満となる。
• 区分的多項式評価方式により、定義域を分割することで高次多項式の必要性が低減され、低次の近似でも高い精度を達成できるようになった。
• リソース見積もりの結果、arcsin(x)の評価コストは主に逆平方根と多項式評価サブルーチンに起因し、後者はトフォリゲート数に顕著な寄与をしていることが判明した。