[論文レビュー] Optimizing quantum optimization algorithms via faster quantum gradient computation

András Gilyén, Srinivasan Arunachalam+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、滑らかな多変数関数の勾配を計算する量子アルゴリズムを提示しており、Jordanのアルゴリズムと比較して、精度依存性が2乗改善されており、より高速な量子最適化を可能にする。これは、効率的な重ね合わせベースの評価とオракル変換を介して達成され、VQE、QAOA、および量子オートエンコーダーなどの変分量子アルゴリズムにおいて、2乗またはさらには指数的加速を実現する。

ABSTRACT

We consider a generic framework of optimization algorithms based on gradient descent. We develop a quantum algorithm that computes the gradient of a multi-variate real-valued function f : Rd → R by evaluating it at only a logarithmic number of times in superposition. Our algorithm is an improved version of Jordan's gradient computation algorithm [28], providing an approximation of the gradient ▽f with quadratically better dependence on the evaluation accuracy of f, for an important class of smooth functions. Furthermore, we show that objective functions arising from variational quantum circuits usually satisfy the necessary smoothness conditions, hence our algorithm provides a quadratic improvement in the complexity of computing their gradient. We also show that in a continuous phase-query model, our gradient computation algorithm has optimal query complexity up to poly-logarithmic factors, for a particular class of smooth functions. Moreover, we show that for low-degree multivariate polynomials our algorithm can provide exponential speedups compared to Jordan's algorithm in terms of the dimension d.One of the technical challenges in applying our gradient computation procedure for quantum optimization problems is the need to convert between a probability oracle (which is common in quantum optimization procedures) and a phase oracle (which is common in quantum algorithms) of the objective function f. We provide efficient subroutines to perform this delicate interconversion between the two types of oracles incurring only a logarithmic overhead, which might be of independent interest. Finally, using these tools we improve the runtime of prior approaches for training quantum auto-encoders, variational quantum eigensolvers (VQE), and quantum approximate optimization algorithms (QAOA).

研究の動機と目的

• 従来の手法と比較して、滑らかな関数の勾配を計算する際に、精度スケーリングを改善した量子アルゴリズムを開発すること。
• 変分量子回路における勾配計算のクエリ複雑度を低減することで、より高速な量子最適化を実現すること。
• 確率オーガルと位相オーガルの間のギャップを埋め、既存の量子アルゴリズムへのシームレスな統合を可能にすること。
• 変分量子アルゴリズムにおける目的関数が、改善された勾配手法に必要な滑らかさ条件を満たしていることを示すこと。
• 連続的位相クエリモデルにおいて、勾配計算の最適クエリ複雑度を達成すること（多項式対数要因を除いて）。

提案手法

• アルゴリズムは、重ね合わせ状態で関数 f を対数的数の点で評価することで、効率的な勾配推定を可能にする。
• 滑らかな関数に対して、f の評価精度に依存する部分をJordanのアルゴリズムと比較して2乗改善する。
• 勾配 ▽f を近似するために、アダミット増幅と位相推定を活用する新しい量子手順に依存する。
• 確率オーガルと位相オーガルの間の変換を、対数的オーバーヘッドで効率的に行うサブルーチンを導入する。
• 連続的位相クエリモデルにおいて、滑らかな関数の特定のクラスに対して、このアルゴリズムは多項式対数要因を除いて最適であることが示された。
• 低次の多変数多項式に対しては、次元 d に関してJordanの手法と比較して指数的加速を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数評価精度への依存性を低減することで、量子勾配計算をより効率化できるか？
• RQ2 変分量子回路からの目的関数は、改善された勾配アルゴリズムに必要な滑らかさ条件を満たしているか？
• RQ3 連続的位相クエリモデルにおいて、滑らかな関数の量子勾配計算の最適クエリ複雑度は何か？
• RQ4 量子最適化ワークフローにおいて、確率オーガルと位相オーガルを効率的に相互変換する方法は何か？
• RQ5 改善された勾配アルゴリズムは、特定のクラスの最適化問題において指数的加速をもたらすか？

主な発見

• 提案された量子勾配アルゴリズムは、滑らかな関数に対して、Jordanのアルゴリズムと比較して、関数評価精度への依存性が2乗改善されている。
• VQE、QAOA、および量子オートエンコーダーを含む変分量子回路において、勾配計算の複雑度に2乗加速を実現する。
• 低次の多変数多項式に対しては、次元 d に関して、Jordanの手法と比較して指数的加速が達成される。
• 連続的位相クエリモデルにおいて、特定の滑らかな関数クラスに対して、このアルゴリズムのクエリ複雑度は多項式対数要因を除いて最適である。
• オーガル相互変換サブルーチンは、対数的オーバーヘッドしか発生しないため、効率的で、既存の量子最適化パイプラインへの統合に適している。
• 勾配計算の加速により、量子オートエンコーダー、VQE、およびQAOAの実行時間の改善が可能になる。