[論文レビュー] Option Pricing in a Dynamic Variance-Gamma Model

Lorenzo Mercuri, Fabio Bellini|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ログリターンがGARCH型確率的ボラティリティ過程によって駆動される時変動分散ガンマ分布に従う動的分散ガンマ（DVG）モデルを提案する。リスク中立測度の変更に条件付きエッシャー変換を用いることで、特徴関数の再帰的計算による半アナリティカルな価格設定が可能となり、SPXデータへの適合においてHeston-NandiおよびIGベースのモデルを凌駕する。

ABSTRACT

We present a discrete time stochastic volatility model in which the conditional distribution of the logreturns is a Variance-Gamma, that is a normal variance-mean mixture with Gamma mixing density. We assume that the Gamma mixing density is time varying and follows an affine Garch model, trying to capture persistence of volatility shocks and also higher order conditional dynamics in a parsimonious way. We select an equivalent martingale measure by means of the conditional Esscher transform as in Buhlmann et al. (1996) and show that this change of measure leads to a similar dynamics of the mixing distribution. The model admits a recursive procedure for the computation of the characteristic function of the terminal logprice, thus allowing semianalytical pricing as in Heston and Nandi (2000). From an empirical point of view, we check the ability of this model to calibrate SPX option data and we compare it with the Heston and Nandi (2000) model and with the Christoffersen, Heston and Jacobs (2006) model, that is based on Inverse Gaussian innovations. Moreover, we provide a detailed comparison with several variants of the Heston and Nandi model that shows the superiority of the Variance-Gamma innovations also from the point of view of historical MLE estimation.

研究の動機と目的

• 時変動分散ガンマ分布を用いてボラティリティクラスタリングおよび高次元リターンダイナミクスを捉える動的確率的ボラティリティモデルの構築を目的とする。
• 混合分布の構造を保つような同等マルティンググール測度の導出のため、条件付きエッシャー変換を適用する。
• 終期ログプライスの特徴関数の再帰的計算を通じて、効率的な半アナリティカルなオプション価格設定を可能とする。
• S&P 500オプションのデータに適合させる際、Heston-NandiおよびChristoffersen et al. (2006) のモデルと比較して、DVGモデルの性能を実証的に評価する。
• オプションインプライドおよび歴史的最尤推定の両方を用いて、DVGモデルと複数のHeston-Nandiモデルの変種を比較する。

提案手法

• ログリターンの条件付き分布を、時変動するガンマ混合密度を有する正規分布の混合分布である分散ガンマ分布としてモデル化する。
• ガンマ混合密度がアフィンGARCH過程に従うと仮定し、ボラティリティの持続性および動的条件付きモーメントを捉える。
• 物理測度からリスク中立測度への変更に条件付きエッシャー変換を適用し、変換後の混合分布が類似した動的構造を保つことを保証する。
• 終期ログプライスの特徴関数を計算する再帰的アルゴリズムを導出することで、特徴関数の逆変換による半アナリティカルな価格設定を可能にする。
• 特徴関数を用いて数値積分によりオプション価格を計算し、フーリエ変換価格設定フレームワークを活用する。
• S&P 500オプションデータにモデルを適合させ、インプライドボラティリティおよび歴史的尤度を用いてHeston-NandiおよびIGベースのモデルと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GARCH駆動ボラティリティを有する動的分散ガンマモデルは、ボラティリティクラスタリングおよび厚尾を含む金融リターンのスタイリズドファクトを効果的に捉えることができるか？
• RQ2 条件付きエッシャー変換はリスク中立測度下でも混合分布の構造的形を保つのか？ これにより、解析的取り扱いが可能になるか？
• RQ3 S&P 500オプションデータに適合させる際、DVGモデルはHeston-NandiおよびChristoffersen et al. (2006) のモデルと比較して、どの程度高い適合精度を示すか？
• RQ4 歴史的最尤推定において、分散ガンマノイズ構造は逆ガウスノイズ構造を上回る性能を示すか？
• RQ5 特徴関数の再帰的計算は、動的分散ガンマフレームワークにおける効率的かつ高精度なオプション価格設定を可能にするか？

主な発見

• 動的分散ガンマモデルは、時変動するガンマ混合分布を通じてボラティリティの持続性および高次元の条件付きダイナミクスを効果的に捉えている。
• 条件付きエッシャー変換により、混合分布のアフィン構造を保ったリスク中立的ダイナミクスが得られ、解析的取り扱いが可能となる。
• 特徴関数の再帰的計算を通じて、半アナリティカルなオプション価格設定が可能となり、効率的な数値実装が実現される。
• S&P 500オプションへの実証的適合では、DVGモデルがインプライドボラティリティ・サーフェスの適合性において、Heston-NandiおよびChristoffersen et al. (2006) のモデルを上回っている。
• 複数のHeston-Nandiモデルの変種と比較して、分散ガンマノイズ構造は歴史的最尤推定性能において優れた結果を示している。
• DVGモデルはオプションインプライドおよび歴史的推定の両フレームワークにおいて、強固で高精度であることが確認され、実証的妥当性が裏付けられている。