[論文レビュー] Option Pricing in a Regime Switching Jump Diffusion Model

Anindya Goswami, Omkar Manjarekar+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、市場の状態が持続時間に依存する遷移を示す半マルコフ過程に従い、資産価格がジャンプを経験する、ヨーロピアン・オプション・プライシングのためのレジームスイッチング・ジャンプ・ディフュージョン・モデルを開発する。Föllmer-Schweizer分解を用いて、退化的で非局所的かつ線形な放物型積分微分方程式に対して、古典的解の存在と一意性を確立し、レジームの変化とジャンプを併せ持つ不完全市場における最適ヘッジを可能にする。

ABSTRACT

This paper presents the solution to a European option pricing problem by considering a regime-switching jump diffusion model of the underlying financial asset price dynamics. The regimes are assumed to be the results of an observed pure jump process, driving the values of interest rate and volatility coefficient. The pure jump process is assumed to be a semi-Markov process on finite state space. This consideration helps to incorporate a specific type of memory influence in the asset price. Under this model assumption, the locally risk minimizing price of the European type path-independent options is found. The Föllmer-Schweizer decomposition is adopted to show that the option price satisfies an evolution problem, as a function of time, stock price, market regime, and the stagnancy period. To be more precise, the evolution problem involves a linear, parabolic, degenerate and non-local system of integro-partial differential equations. We have established existence and uniqueness of classical solution to the evolution problem in an appropriate class.

研究の動機と目的

• 既存のモデルが、資産価格ダイナミクスにおけるジャンプの不連続性と、持続時間に依存するレジームスイッチングを同時に捉えていないというギャップに対処すること。
• 半マルコフ過程によって駆動されるレジームスイッチング・ジャンプ・ディフュージョン・モデルにおいて、アービタージュの不在を確立すること。
• 本モデル下でのヨーロピアン・パスに依存しないオプションのローカルリスクミニマライジング・プライスを導出すること。
• 非局所的で退化的かつ放物型の積分微分方程式系（IPDE）としての、関連する時間発展問題に対する古典的解の存在と一意性を証明すること。
• 時間、株価、市場レジーム、停滞期間の観点から解を特徴付けることにより、最適ヘッジ戦略を可能にすること。

提案手法

• 有限状態の半マルコフ過程に従うレジームを有する、レジームスイッチング・ジャンプ・ディフュージョン過程を用いて資産価格ダイナミクスをモデル化する。持続時間分布は一般である。
• ジャンプサイズの分布が有界であり、η(z) > -1 を満たすと仮定することで、価格過程の正値性と可積分性を保証する。
• Föllmer-Schweizer分解を適用し、ローカルリスクミニマライジング・プライスを導出する。これにより、時間、株価、レジーム、停滞期間を変数とする積分微分方程式系（IPDE）が得られる。
• 係数の有界性と連続性の仮定を用いて、適切な関数空間内でのIPDE系の古典的解の存在と一意性を証明する。
• ジャンプ成分のモーメント生成関数を分析し、Lévy測度の有限性を用いることで、資産価格過程の二階モーメントの有界性を示し、その平方可積分性を確立する。
• 係数関数の時間連続性と一様有界性を用いて、関連する線形作用素が有界線形写像の空間内で連続であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半マルコフ過程によって駆動されるレジームスイッチング・ジャンプ・ディフュージョン・モデルは、ジャンプ分布に適切な条件が満たされれば、アービタージュフリーなプライシングを許容するか？
• RQ2 持続時間依存のレジームスイッチングとジャンプの不連続性を併せ持つ場合、不完全市場におけるオプション・プライシングPDEにどのような影響を与えるか？
• RQ3 本ハイブリッド・モデル設定において、Föllmer-Schweizer分解を適用してローカルリスクミニマライジング・プライスを導出可能か？
• RQ4 非局所的で退化的かつ放物型のIPDE系に対する解の正則性と存在性の性質は何か？
• RQ5 本モデル下で資産価格過程の平方可積分性を保証する条件は何か？

主な発見

• ジャンプサイズ分布がη(z) > -1 を満たし、二階モーメントが有限であれば、SDEの解の正値性と可積分性を確認することで、モデルがアービタージュを排除することが保証される。
• ヨーロピアン・オプションのローカルリスクミニマライジング・プライスは、時間、株価、レジーム、停滞期間を含む、退化的で非局所的かつ線形な放物型積分微分方程式系（IPDE）を満たす。
• 適切な関数空間内での時間発展問題に対する古典的解の存在と一意性が確立され、プライシング問題の数学的well-posednessが保証される。
• 解が有限時間区間上で平方可積分であることが示され、Föllmer-Schweizer分解および最適ヘッジの有効性に不可欠である。
• 最適ヘッジ戦略はFöllmer-Schweizer分解から導出され、連続取引下での2次残差リスクを最小化する。
• 係数関数の時間連続性と有界性から、関連する線形作用素が有界線形写像の空間内で連続であることが示され、解の正則性を支持する。