[論文レビュー] Option Pricing in Multivariate Stochastic Volatility Models of OU Type

Johannes Muhle‐Karbe, Oliver Pfaffel+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Jan 19, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特徴関数とフーリエ法を用いて、多資産オプションおよび共分散スワップの効率的 pricingを可能にするOU型の多変量確率的ボラティリティモデルを提案する。主な貢献は、フーリエ法を用いてオプションおよび共分散スワップの価格に対して閉形式解を導出したことであり、外国為替市場データへのキャリブレーションを通じて妥当性が検証された。

ABSTRACT

We present a multivariate stochastic volatility model with leverage, which is flexible enough to recapture the individual dynamics as well as the interdependencies between several assets while still being highly analytically tractable. First we derive the characteristic function and give conditions that ensure its analyticity and absolute integrability in some open complex strip around zero. Therefore we can use Fourier methods to compute the prices of multi-asset options efficiently. To show the applicability of our results, we propose a concrete specification, the OU-Wishart model, where the dynamics of each individual asset coincide with the popular Gamma-OU BNS model. This model can be well calibrated to market prices, which we illustrate with an example using options on the exchange rates of some major currencies. Finally, we show that covariance swaps can also be priced in closed form.

研究の動機と目的

• 個々の資産のダイナミクスと相関関係、特に確率的相関とレバレッジ効果を捉えることができる、柔軟性と解析的扱いやすさを両立した多変量確率的ボラティリティモデルの構築。
• 複素領域のストリップ内で特徴関数が解析的かつ絶対可積分であることを保証する条件の確立により、フーリエベースのオプション価格付けを効率的に行えるようにする。
• 外国為替オプションに特に適した、実市場データへのキャリブレーションが可能な具体的な仕様である「OU-Wishartモデル」の提案。
• 共分散スワップの閉形式価格付けを可能とするフレームワークへの拡張、これは多資産ボラティリティ取引における重要なデリバティブ製品である。

提案手法

• 対数リターンと確率的ボラティリティを、次式の連立確率微分方程式でモデル化する：dY_t = (μ + β(Σ_t))dt + Σ_t^{1/2} dW_t + ρ(dL_t)，dΣ_t = (AΣ_t + Σ_t A^T)dt + dL_t，ここでLは行列サブドレーターである。
• Σ_t に対して一般化されたOU型過程を用い、これは平均回帰的であり、ジャンプによって駆動されるため、ボラティリティのクラスタリングや急激な市場ショックを捉えることができる。
• Lévyサブドレーターの弱い可積分性および解析的条件のもとで、リターン過程の特徴関数を閉形式で導出する。
• Carr-Madan や Raible のフーリエ逆変換技術を用い、複素領域における数値積分により、ヨーロピアンオプション価格を効率的に計算する。
• 複合ポアソンジャンプとWishart分布の増分を用いたOU-Wishartモデルを指定し、モーメントの取り扱いやすさと市場データへのキャリブレーション可能性を確保する。
• Lévyサブドレーターのモーメント生成関数と行列指数項を用いて、二次変動の期待値を計算することで、共分散スワップレートの閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レバレッジ効果および確率的相関を有する多変量確率的ボラティリティモデルを構築できるか。そのモデルはオプション価格付けにおいて解析的に扱えるか。
• RQ2 多変量リターン過程の特徴関数が、複素領域のストリップ内で解析的かつ絶対可積分であるための条件は何か。これによりフーリエ価格付けが可能となる。
• RQ3 提案されたモデルは、主要通貨ペアのオプション市場データに対して効果的にキャリブレーション可能か。
• RQ4 確率的ボラティリティとジャンプを有する多変量設定において、共分散スワップレートの閉形式表現を導出できるか。

主な発見

• Lévyサブドレーターの弱い可積分性条件のもとで、多変量リターン過程の特徴関数は、ゼロのまわりの開いた複素ストリップ内で解析的かつ絶対可積分であることが保証され、これにより堅牢なフーリエ価格付けが可能となる。
• 一般フレームワークの具体的な仕様であるOU-Wishartモデルは、オプション価格および共分散スワップレートの閉形式計算を可能とし、二次変動の期待値について明示的な公式が導出された。
• 共分散スワップレートは、E([Y^i,Y^j]_T) = (E(Σ_T^+))^{ij} + T ∫ ρ^i(X)ρ^j(X) κ_L(dX) として閉形式で計算可能であり、Wishart分布ジャンプの明示的モーメント表現が得られている。
• 2次元OU-Wishartモデルにおいて、正規化された共分散スワップレートは、行列指数関数とジャンプ分布のモーメントを含む閉形式式で与えられ、市場データへの直接的なキャリブレーションが可能となる。
• 本モデルは、主要通貨ペアのオプション市場価格に成功裏にキャリブレーションされ、複数資産の共同ダイナミクスを捉える実用的妥当性と柔軟性が示された。