[論文レビュー] Options on Hedge Funds under the High Water Mark Rule

Marc Atlan, Hélyette Geman+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ハイウォーターマークルール下でのヘッジファンド・オプションの評価モデルを構築し、幾何 Browmian 動的過程の局所時を用いてオプション価格のラプラス変換を導出し、数値的に逆変換する。主な貢献は、ファンドの最高NAVに連動する報酬手数料を考慮する数学的に厳密なフレームワークを提供することであり、ボラティリティ、ストライク、ハイウォーターマーク水準に明示的な依存関係を持つ確率的ダイナミクス下での正確な価格評価を可能にする。

ABSTRACT

The rapidly growing hedge fund industry has provided individual and institutional investors with new investment vehicles and styles of management. It has also brought forward a new form of performance contract: hedge fund managers receive incentive fees which are typically a fraction of the fund net asset value (NAV) above its starting level - a rule known as high water mark. Options on hedge funds are becoming increasingly popular, in particular because they allow investors with limited capital to get exposure to this new asset class. The goal of the paper is to propose a valuation of plain-vanilla options on hedge funds which accounts for the high water market rule. Mathematically, this valuation leads to an interesting use of local times of Brownian motion. Option prices are numerically computed by inversion of their Laplace transforms.

研究の動機と目的

• 業界で標準的なインcentive fee構造として広く用いられるハイウォーターマークルールを反映する、ヘッジファンド・オプションの正式な評価フレームワークの欠如に応えること。
• 初期投資価格を超えると発動するNAVの超過に起因する報酬手数料が、オプション価格ダイナミクスに与える影響をモデル化すること。
• ハイウォーターマーク契約の経路依存性を確率過程を用いて組み込むことで、既存のオプション価格モデルを拡張すること。
• ラプラス変換の逆変換による数値的取り扱いが可能となる解法を提供し、現実的な市場状況下でのオプション価格の実用的計算を可能にすること。

提案手法

• リスク中立測度の下で、無リスク金利、管理手数料、報酬手数料を調整したドリフトを持つ幾何 Browmian 動的過程としてヘッジファンドの純資産価値（NAV）をモデル化する。
• ハイウォーターマーク（初期NAV）を超えるNAVに対して報酬手数料を定義し、オプションに類似した構造を捉えるためにインジケータ関数を用いる。
• エク cursio 理論および Browmian 動的過程の局所時を応用し、満期におけるオプション価格のラプラス変換を導出することで、解析的取り扱いを可能にする。
• ラプラス変換の数値的逆変換を用いて、さまざまなストライク価格、残存期間、パラメータ設定におけるオプション価格を計算する。
• 報酬手数料がゼロの場合に、Merton（1973）のオプション価格公式が正確に回復されることを確認することで、モデルを検証する。
• モンテカルロシミュレーションを用いた数値実験により、ラプラス変換逆変換手法の正確性と頑健性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 報酬手数料が初期NAV水準を超えると発動するというハイウォーターマークルールが、ヘッジファンドNAVに対するコプション価格に与える影響は何か？
• RQ2 基礎資産NAVが幾何 Browmian 動的過程に従い、手数料構造がハイウォーターマークを通じて経路依存的である場合、オプション価格の解析的構造はどのように規定されるか？
• RQ3 Browmian 動的過程における局所時を用いることで、このような経路依存オプションの価格評価に実用的な数学的フレームワークを提供できるか？
• RQ4 ボラティリティ、マネーニング（金利差）、ハイウォーターマーク水準が、このモデル下でのオプション価格にどのように影響を与えるか？
• RQ5 報酬手数料が存在しない場合、モデルが標準的なオプション価格公式（例：Merton）をどの程度正確に回復するか？

主な発見

• ボラティリティが高くなるとオプション価格も上昇する。表1～4では、σを20%から40%に引き上げた場合、すべての満期およびストライクにおいてコプションプレミアムが顕著に上昇している。
• ハイウォーターマーク水準Hはオプション価格に負の影響を及ぼす。Hが上昇する（例：85ドルから115ドルに）と、手数料発動の障壁が高くなり、早期の手数料支払いの可能性が低下し、オプション価値が上昇する。
• 報酬手数料がゼロ（a=0）の場合、モデルは正確にMerton（1973）の公式を回復する。表5で確認されたように、これは数値的逆変換手法の妥当性を裏付ける。
• モデルは、超過リターンαと管理手数料cに対してオプション価格が敏感であることを示しており、αが高くなるとオプション価値が上昇し、cが高くなると価値が低下する。
• ラプラス変換逆変換手法は極めて高い精度を示し、ゼロ手数料極限において、解析的ベンチマークと少なくとも小数点4位まで一致する。
• モンテカルロシミュレーションにより、ラプラス変換アプローチの数値的安定性と精度が確認され、実用的実装における信頼性が裏付けられた。