[論文レビュー] Oracularization and Two-Prover One-Round Interactive Proofs against Nonlocal Strategies

Tsuyoshi Ito, Hirotada Kobayashi+1 more|ArXiv.org|Oct 3, 2008

Cryptography and Data Security参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ダミー質問を用いたオラクル化を活用することで、もつれを持つプローバーまたは信号伝播不能戦略を用いるプローバーに対しても健全性を保つ2プローバー1ラウンドのインタラクティブ証明システムの2つの新しい構成を提示する。PSPACEおよびNEXPが、量子的不正行為に対しても完全な完全性と指数的になくす健全性誤差を有するシステムを有することを示し、もつれの存在下でもマルチプローバー系がシングルプローバー系に対して優位性を保つことを確立する。

ABSTRACT

A central problem in quantum computational complexity is how to prevent entanglement-assisted cheating in multi-prover interactive proof systems. It is well-known that the standard oracularization technique completely fails in some proof systems under the existence of prior entanglement. This paper studies two constructions of two-prover one-round interactive proof systems based on oracularization. First, it is proved that the two-prover one-round interactive proof system for PSPACE by Cai, Condon, and Lipton still achieves exponentially small soundness error in the existence of prior entanglement between dishonest provers (and more strongly, even if dishonest provers are allowed to use arbitrary no-signaling strategies). It follows that, unless the polynomial-time hierarchy collapses to the second level, two-prover systems are still advantageous to single-prover systems even when only malicious provers can use quantum information. Second, it is proved that the two-prover one-round interactive proof system obtained by oracularizing a three-query probabilistically checkable proof system becomes sound in a weak sense even against dishonest entangled provers with the help of a dummy question. As a consequence, every language in NEXP has a two-prover one-round interactive proof system of perfect completeness, albeit with exponentially small gap between completeness and soundness, in which each prover responds with only two bits. In other words, it is NP-hard to approximate within an inverse-polynomial the value of a classical two-prover one-round game, even when provers are entangled and each sends a two-bit answer to a verifier.

研究の動機と目的

• プローバーが事前もつれを共有している、または信号伝播不能戦略を用いる状況においても、2プローバー1ラウンドのインタラクティブ証明システムの健全性を維持する課題に対処すること。
• 特にPSPACEのシステムにおいてもつれの存在下で標準的なオラクル化技術が失敗することを克服すること。
• もつれを持つプローバーに対しても完全な完全性と指数的になくす健全性誤差を有するNEXPの2プローバー1ラウンド証明システムを構築すること。
• 多プローバー系がもつれの存在下でもシングルプローバー系よりも優位であることを示すこと。ただし、多項式階層が第二レベルに崩壊しないものと仮定する。

提案手法

• ダミー質問を導入することで、プローバーの行動を安定化させ、もつれによる不正を防ぐことによってオラクル化を適応的に拡張する。
• 2ビットの答えを有する非適応的3クエリPCPシステムをベースとし、結果として得られるゲームにおける短い2ビットの答えを可能にする。
• 測定シーケンスの違いに起因する量子状態のずれを制限するために、トレース距離および確率的トレース不等式を用いる。
• 測定の逐次的連鎖におけるトレース距離のバインドを用い、単調性および三角不等式を用いて誤差の蓄積を制御する。
• 質問の順序の確率的解析を、周辺確率で重み付けすることで、期待誤差項をバインドする。
• コーシー＝シュバルツ不等式およびその他の不等式を用い、d1、d4、d3関数を含む誤差項の和をバインドし、最終的にεconsの関数としての誤差バインドを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2プローバー1ラウンドの証明システムにおいて、もつれたプローバーに対してもオラクル化が頑健に機能するか？
• RQ2 Cai, Condon, および Liptonが提唱したPSPACEの2プローバー1ラウンドシステムは、事前もつれや信号伝播不能戦略の下でも健全性を保つか？
• RQ3 もつれを持つプローバーに対しても完全な完全性と指数的になくす健全性誤差を有するNEXPの2プローバー1ラウンド証明システムを構築可能か？
• RQ4 このようなシステムにおいて、答えの長さと誤差耐性のトレードオフは存在するか？また、ダミー質問を用いることで最適化可能か？
• RQ5 もつれによる不正の下で、2ビットの答えを有する2プローバー1ラウンドゲームにおける完全性と健全性の最小ギャップは何か？

主な発見

• Cai, Condon, および Liptonが提唱したPSPACEの2プローバー1ラウンド証明システムは、プローバーが事前もつれを共有している場合や任意の信号伝播不能戦略を用いる場合でも、指数的になくす健全性誤差を維持する。
• NEXPに属する任意の言語は、ダミー質問をオラクル化に用いることで、もつれを持つプローバーに対しても完全な完全性と指数的になくす健全性誤差を有する2プローバー1ラウンドインタラクティブ証明システムを持つ。
• 結果として得られるゲームではプローバー1人あたりの答えが2ビットのみであり、完全性と健全性のギャップは逆指数的であり、これは逆多項式要因内で近似することがNP困難であることを示している。
• 健全性誤差は定数倍の(1 − w(G))² / Q²でバインドされ、Qは質問数を表す。これは、システムが量子的不正行為に対して頑健であることを示している。
• この手法は非適応的tクエリPCPシステムに一般化可能であり、誤差バインドはtに比例して適切にスケーリングされる。これは広範な適用可能性を示している。
• この構成により、多項式階層が第二レベルに崩壊しない限り、もつれの存在下でも2プローバー系がシングルプローバー系よりも厳密に優位であることが示された。