[論文レビュー] Orbifold Cohomology of ADE-singularities

Fabio Perroni|ArXiv.org|Oct 25, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、$A_1$ および $A_2$ 型特異点に対して、Ruanの特異点のコhomologicalなクレパント解消予想を、$[Y] = \mathbb{C}^2/\Gamma$（ここで $\Gamma$ は $SU(2)$ の有限部分群）のオルビフォールドコホモロジー環とそのクレパント解消 $Z$ の量子補正コホモロジー環との間の明示的な同型写像を構成することによって証明する。同型写像は、Gromov-Wittenインバリアントを用いたカップ積の変形によって実現され、量子パラメータ $q_1, q_2$ が複素数の単位根 $q_1 = q_2 = \exp(2\pi i/3)$ または $\exp(4\pi i/3)$ に設定されることで、$A_1$ および $A_2$ の場合に予想が確認される。

ABSTRACT

We study Ruan's "cohomological crepant resolution conjecture" (see math.AG/0108195) for orbifolds with transversal ADE singularities. Let [Y] be such an orbifold, Y its coarse moduli space and Z the crepant resolution of Y. Following Ruan [math.AG/0108195], we have a deformation of the cohomology ring H^*(Z) using some Gromov-Witten invariants of Z. The resulting family of rings will be denoted by H^*(Z)(q_1,...,q_n), where q_1,...,q_n are complex parameters. In the A_n case we compute both the orbifold cohomology ring H^*_{orb}([Y]) and the family H^*(Z)(q_1,...,q_n). The former is achieved in general, the later up to an explicit conjecture on the Gromov-Witten invariants which is verified under additional, technical assumptions. We construct an explicit isomorphism between H^*_{orb}([Y]) and H^*(Z)(-1) in the A_1 case, verifying Ruan's conjecture. In the A_2 case, the family H^*(q_1,q_2) is not defined for q_1=q_2=-1, so the conjecture should be slightly modified. However we give an explicit isomorphism between H^*_{orb}([Y]) and H^*(Z)(q_1,q_2) with q_1=q_2 be a primitive third root of the unity, thus proving a slightly modified version of Ruan's conjecture. It is natural to conjecture that, in the A_n case, H^*_{orb}([Y]) is isomorphic to H^*(Z)(q_1,...,q_n) with q_1=...=q_n be a primitive (n+1)-th root of the unity.

研究の動機と目的

• オルビフォールドGromov-Witten理論の文脈において、$A_1$ および $A_2$ 特異点に対するRuanのコホモロジー的クレパント解消予想を検証すること。
• グローバル商オルビフォールド $[Y] = \mathbb{C}^2/\Gamma$ のオルビフォールドコホモロジー環と、そのクレパント解消 $Z$ の量子補正コホモロジー環との間の明示的な同型写像を構成すること。
• 量子補正カップ積が $H^*(Z)$ 上で $H^*_{\text{orb}}([Y])$ 上のオルビフォールドカップ積と一致するような、量子パラメータ $q_1, q_2$ の値を特定すること。
• $ADE$-特異点のオルビフォールドコホモロジーにおけるねじれセクターとモノドロミーの役割を分析すること。

提案手法

• 粗い空間およびねじれセクターのコホモロジーの直和としてオルビフォールドコホモロジー環を定義し、年齢シフトとモノドロミー情報を組み込んだカップ積構造を導入する。
• $\ker \rho_*$ 内のホモロジー類を持つ、$Z$ の genus-zero Gromov-Witten インバリアントを用いて、$H^*(Z)$ 上の量子補正カップ積を構成し、通常のカップ積を形式的パラメータ $q_l$ で変形する。
• 線形化補題と $A_n$-特異点の表現論を用いて、$A_1$ および $A_2$ の場合にオルビフォールドカップ積を明示的に計算する。
• 提案された環同型写像に対称性制約を課して未知数の数を減らし、量子パラメータ $q_1, q_2$ を解く。
• 量子補正環とオルビフォールド環の構造定数が一致することを確認することで、同型写像がオルビフォールドカップ積構造を保存することを検証する。
• 量子補正に用いられるGromov-Wittenインバリアントを定義するために、ねじれ安定写像の仮想基本クラスと障害理論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子補正コホモロジー環 $H^*(Z)(q_1, q_2)$ がオルビフォールドコホモロジー環 $H^*_{\text{orb}}([Y])$ と同型になるような、量子パラメータ $q_1, q_2$ の値は何か？
• RQ2 $A_n$-特異点のオルビフォールドコホモロジー環は、そのクレパント解消の量子補正コホモロジー環と環同型をもつのか？ もしそうなら、どのような条件下で成立するか？
• RQ3 $A_1$ および $A_2$ の場合に、オルビフォールドカップ積と量子補正カップ積の関係は何か？ それらの構造を支配する対称性は何か？
• RQ4 Gromov-Wittenインバリアントが消えるホロモーフィックシンプレクティックの場合に、量子補正とオルビフォールドコホモロジー環の間の同型写像を拡張できるか？

主な発見

• 量子補正カップ積が $H^*(Z)$ 上でオルビフォールドカップ積 $H^*_{\text{orb}}([Y])$ と一致するのは、$q_1 = q_2 = \exp(2\pi i/3)$ または $q_1 = q_2 = \exp(4\pi i/3)$ のときである。
• $A_1$ の場合、オルビフォールドコホモロジー環は $e_1, e_2$ によって生成され、関係式 $e_1 \cup_{\text{orb}} e_1 = Le_2$、$e_1 \cup_{\text{orb}} e_2 = \frac{1}{3}[S]$、$e_2 \cup_{\text{orb}} e_2 = Me_1$ を満たす。ここで $L, M$ は構造定数である。
• $A_2$ の場合、オルビフォールドカップ積構造は $E_1 \leftrightarrow E_2$、$L \leftrightarrow M$、$e_1 \leftrightarrow e_2$ の交換に対して対称的であり、この対称性を保つためには量子パラメータが同じ単位根条件を満たす必要がある。
• Gromov-Wittenインバリアントが消えるホロモーフィックシンプレクティックの場合でも、$H^*(Z)(q_1, q_2)$ と $H^*_{\text{orb}}([Y])$ 間の同型写像は保存される。
• 環同型写像のための連立方程式の解は、$a = \sqrt{3}\exp(\pi i/6)$、$b = \sqrt{3}\exp(5\pi i/6)$ または $a = -\sqrt{3}\exp(5\pi i/6)$、$b = \sqrt{3}\exp(\pi i/6)$ の2通りであり、これは $q_1 = q_2$ の2つの値に対応する。
• 量子補正三重交差数が、指定された単位根でのみオルビフォールド三重交差数と一致するため、$A_1$ および $A_2$ に対して予想が確認される。