[論文レビュー] Orbifold slope-rational connectedness

Frédéric Campana|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、特徴が零の滑らかで投影的なオルビフォールド対 $(X,D)$ に対して、可動的クラスとハラーナラシム・フィルトレーションを用いて、古典的な有理的連結性および有理的商線形写像の一般化として、オルビフォールドスロープ有理的連結性とスロープ有理的商線形写像を導入する。主な貢献は、接続的有理的曲線の族の存在を仮定せずに、最小スロープの正性に基づく、オルビフォールド有理的商線形写像の条件なしの構成である。

ABSTRACT

We define, for smooth projective orbifold pairs $(X,D)$ notions of `slope Rational connectedness', and of orbifold `slope Rational quotient' . These notions extend to this larger context the classical notions of rationally connected manifold and `rational quotient' (sometimes called `MRC fibration'). Our notions and proofs work entirely in characteristic zero, and are based on the consideration of foliations with minimal positive slope with respect to some suitable movable class. The existence of covering or connecting families of `orbifold rational curves' is indeed presently unknown in the orbifold context, in situations analogous to the classical case $D=0$. By contrast, the notions we introduce here, are checkable in practice and can certainly be used to show general properties expected from the existence of connecting families of `orbifold rational curves'. The proofs given here in the orbifold context provide new proofs in the classical case where $D=0$, since the classical proofs did not seem to adapt, with the presently existing techniques, to this broader context.

研究の動機と目的

• 接続的有理的曲線の族の存在が未知である状況において、滑らかで投影的なオルビフォールド対 $(X,D)$ に対して、古典的な有理的連結性および有理的商線形写像の概念を拡張すること。
• 有理的曲線に依存しない、可動的クラスに関する最小スロープの正性を用いた、オルビフォールドスロープ有理的連結性の定義と特徴づけを行うこと。
• 既存の技法がオルビフォールド設定に適応できないという制限を克服し、オルビフォールド有理的商線形写像をスロープ基準に基づき条件なしに構成すること。
• 既存の技法がオルビフォールド設定に適応できないため、$D=0$ の場合に古典的結果の新しい証明を提供すること。
• オルビフォールド余接束の数的次元とオルビフォールド有理的商線形写像の構造との間の関係を確立し、特にコア写像分解に関連して考察すること。

提案手法

• カワマタ被覆 $\pi: X' \to (X,D)$ を用いて、古典的層をねじれのないオルビフォールドバンドルに引き上げることで、オルビフォールド接続および余接層を定義する。
• $X$ 上の可動的クラス $\alpha$ を用いて、オルビフォールドバンドルのスロープ $\mu_{\alpha}$、(半)安定性、およびハラーナラシム・フィルトレーションを定義する。
• オルビフォールドスロープ有理的連結性の基準として、最小スロープの正性 $\mu_{\alpha,\text{min}}(\mathcal{E}) > 0$ を導入する。
• 任意の整然モデルのオルビフォールド基底上での $K_Z + D_Z$ の非擬効性性と、十分大きな $m$ に対して $h^0(X', \otimes^m \Omega^1(X,D) \otimes A) = 0$ である全局的切断の消失の間の同値性を確立する。
• 最小スロープ正性条件を用いて、条件なしにオルビフォールドスロープ有理的商線形写像 $\rho: (X,D) \dasharrow (R,D_R)$ を構成する。
• 新しい構成を $\kappa$-有理的商線形写像およびコア写像分解と関連づけ、$C_{n,m}^{\text{orb}}$ 予想が成り立つ場合に、新しい商線形写像が古典的なものと一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続的有理的曲線の族の存在を仮定しない状況で、古典的な有理的連結性の概念をオルビフォールド対 $(X,D)$ に一般化できるか。
• RQ2 有理的曲線の明示的構成を避けて、コhomオロジーやスロープ基準に依存する、オルビフォールドスロープ有理的連結性の特徴づけは可能か。
• RQ3 オルビフォールド余接バンドルのスロープ正性を用いて、特徴が零の状況で、オルビフォールド有理的商線形写像を条件なしに構成できるか。
• RQ4 新しいスロープ有理的商線形写像は、オルビフォールド設定における既存のコア写像分解および $\kappa$-有理的商線形写像とどのように関係するか。
• RQ5 数的次元 $\nu^+(X,D)$ と $(X,D)$ の崩壊的構造との間の関係は何か。特に、基本群および $K_X + D$ の擬効性との関係において。

主な発見

• 定理 1.1 は、次の三つの条件の同値性を確立する：任意の整然モデルのオルビフォールド基底上での $K_Z + D_Z$ の非擬効性性、十分大きな $m$ に対して $h^0(X', \otimes^m \Omega^1(X,D) \otimes A) = 0$ である全局的切断の消失、および、オルビフォールド接続バンドルのすべての商の最小スロープが正であるような可動的クラス $\alpha$ の存在。
• オルビフォールドスロープ有理的商線形写像 $\rho: (X,D) \dasharrow (R,D_R)$ は、スロープ正性に基づき条件なしに構成され、古典的な有理的商線形写像を一般化する崩壊的不変量を提供する。
• 本稿は、既存の技法がオルビフォールド設定に適応できないため、$D=0$ の場合に古典的結果の新しい証明を提供する。
• 本稿は、$\nu^+(X,D) = -\infty$ であることと、$(X,D)$ がスロープ有理的連結であることとが同値であり、かつ、十分大きな $m$ に対して $h^0(X', \otimes^m \Omega^1(X,D) \otimes A) = 0$ であることに等価であることを示す。
• オルビフォールドスロープ有理的商線形写像は、予想的には [10] の $\kappa$-有理的商線形写像 $r$ と一致するが、新しい構成により $C_{n,m}^{\text{orb}}$ 予想の仮定を除くことが可能になる。
• スロープ有理的連結なオルビフォールド対の基本群 $\pi_1(X,D)$ はほとんどアーベルであり、特に、対が純粋対数的であるか、または $h^0(X, \Omega^1(X,\log D_1)) = 0$ である場合には自明である。これは [10] の予想を拡張する。