[論文レビュー] Orbifoldes à premi\ere classe de Chern nulle

Frédéric Campana|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、第一 Chern類が自明なコンパクトなカラーベルト・オルビフォールドに対して、ボゴモロフの分解定理のオルビフォールド版を確立する。滑らかさのケースを、リッチ平坦カラーベルト計量、チエーガー＝グロモールの分裂定理、デ・ラーム分解を用いて拡張する。主な結果は、正則K3表面の滑らか領域の基本群が、有限群によるℤ⁴の拡張であるか、有限群であることであり、[K-Z00]における予想を裏付ける。

ABSTRACT

An orbifold version of Bogomolov decomposition theorem is established for compact Kähler spaces with quotient singularities and first Chern class zero.The proof is a direct adaptation of the classical smooth case, using Ricci-flat Kähler metrics, and Cheeger-Gromoll splitting theorem. It implies that normal K3 surfaces are uniformised in the orbifold sense either by normal K3 surfaces or by a complex torus, as conjectured by D.Q. Zhang. It also implies some conjectures on "special" threefolds raised in math.AG/0110051

研究の動機と目的

• 第一 Chern類が自明なコンパクトなカラーベルト・オルビフォールドに対して、ボゴモロフの分解定理を拡張すること。
• 正則K3表面の滑らか領域の基本群に関する予想を検証すること。これは、有限群によるℤ⁴の拡張であるか、有限群である。
• 特殊な3次元多様体におけるほぼアーベル基本群とKobayashi擬距離の消滅に関する予想を支持すること。
• 特異カラーベルト空間の文脈において、チエーガー＝グロモールの分裂定理およびデ・ラーム分解のオルビフォールド版を確立すること。
• オルビフォールド構造とリッチ平坦計量を用いた、特異カラーベルト多様体の位相を理解するための幾何的基盤を提供すること。

提案手法

• SatakeのV多様体を幾何的フレームワークとして用い、滑らかさのケースにおけるボゴモロフ定理の証明をオルビフォールドに適応する。
• オルビフォールドのカヤーラ・ヤウの定理を用いて、c₁=0 であるコンパクトなカラーベルト・オルビフォールドにリッチ平坦カラーベルト計量を構成する。
• オルビフォールド版のチエーガー＝グロモール分裂定理を適用し、オルビフォールドの普遍被覆を分解する。
• オルビフォールドのデ・ラーム分解定理を用い、普遍被覆を simply connected 因子の積に分解する。
• 局所均一化におけるG不変形式を用いて、オルビフォールドの正規化バンドルおよびチャーン類を定義し、群作用の下での整合性を保証する。
• 群作用による平均化を用いたオルビフォールド上での積分：∫_U α := (1/|G|) ∫_Ũ ˜α を用い、コhomological不変量を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボゴモロフの分解定理は、第一 Chern類が自明なコンパクトなカラーベルト・オルビフォールドに拡張可能か？
• RQ2 商特異点を持つ正則K3表面の滑らか領域の基本群の構造は何か？
• RQ3 リッチ平坦カラーベルト・オルビフォールドに対して、オルビフォールド版のチエーガー＝グロモール分裂定理は成り立つか？
• RQ4 c₁=0 である特殊な3次元多様体の基本群はほぼアーベルであり、Kobayashi擬距離は消えるか？
• RQ5 有限群作用を伴う局所均一化において、オルビフォールドの正規化バンドルおよびチャーン類はどのように振る舞うか？

主な発見

• 商特異点を持つ正則K3表面の滑らか領域の基本群は、有限群によるℤ⁴の拡張であるか、有限群である。
• c₁=0 であるコンパクトなカラーベルト・オルビフォールドに対して、オルビフォールド版のデ・ラーム分解定理が成り立ち、普遍被覆に積構造が生じる。
• リッチ平坦カラーベルト・オルビフォールドに対して、オルビフォールド版のチエーガー＝グロモール分裂定理が適用可能であり、普遍被覆が等長的に分裂することを保証する。
• コンパクトなオルビフォールドに対して、正規化バンドルを用いて第一チャーン類c₁(X)が適切に定義され、リッチ平坦計量の曲率類に等しい。
• 第一チャーン類が自明で、基本群がℤ⁴の有限群による拡張である正則K3表面の滑らか領域は、オルビフォールドの意味で複素トーラスによって均一化可能である。
• c₁=0 であるコンパクトなカラーベルト・オルビフォールドの基本群はほとんどノルム的であり、多様体が特殊であればほとんどアーベル的である。これは[C01]における予想を裏付ける。