[論文レビュー] Orbifoldes speciales et classification bimeromorphe des varietes kaehleriennes compactes

Frédéric Campana|ArXiv.org|May 5, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、コンpact Kähler多様体とlog構造の間を補間する二重型圏として幾何的オルビフォールドを導入し、関手的な二段階のバイメルモーフィック分類を可能にする。まず特殊なファイバーと一般型の底を持つコアファイブレーションにより分類し、次に特殊なオルビフォールドをκ = 0またはκ₊ = −∞のファイバーを持つ塔に分解する。この枠組みにより、基本群や多価正則形式の次元といった不変量の加法性が回復され、有理的連結性、Kobayashi双曲性、有理点に関する予想の幾何的基盤が提供される。

ABSTRACT

This is a sequel to [Ca01]=math.AG/0110051. We define the bimeromorphic {\it category} of geometric orbifolds. These interpolate between (compact K\" ahler) manifolds and such manifolds with logarithmic structure. These geometric orbifolds are considered from the point of view of their geometry, and thus equipped with the usual invariants of varieties: morphisms and bimeromorphic maps, differential forms, fundamental groups and universal covers, fields of definition and rational points. The most elementary properties, directly adapted from the case of varieties without orbifold structure, are established here. The arguments of [Ca01] can then be directly adapted to extend the main structure results to this orbifold category. We hope to come back to deeper aspects later. The motivation is that the natural frame for the theory of classification of compact K\" ahler (and complex projective) manifolds includes at least the category of orbifolds, as shown in [Ca01] by the fonctorial decomposition of {\it special} manifolds as tower of orbifolds with either $κ_+=-\infty$ or $κ=0$, and also, seemingly, by the minimal model program, in which most proofs work only after the adjunction of a "boundary". Also, fibrations enjoy in the bimeromorphic category of geometric orbifolds extension properties not satisfied in the category of varieties without orbifold structure, permitting to express invariants of the total space from those of the generic fibre and of the base. For example, the natural sequence of fundamental groups is exact there; also the total space is special if so are the generic fibre and the base. This makes this category suitable to lift properties from orbifolds having either $κ_+=-\infty$ or $κ=0$ to those which are special.

研究の動機と目的

• コンpact Kähler多様体とlog構造を一般化する幾何的オルビフォールドの二重型圏を確立し、バイメルモーフィック分類の自然な枠組みを提供すること。
• オルビフォールド構造を備えない多様体の圏では失敗するが、ファイブレーションに沿った基本群や多価正則形式の次元といった不変量の加法性を回復すること。
• 正の次元の一般型オルビフォールドに安定的に写像しないものとして特殊なオルビフォールドを定義し、κ = 0またはκ₊ = −∞のファイバーを持つ塔に分解すること。
• 特殊性が有理点の潜在的密度やKobayashi擬距離の消滅といった幾何的性質と関連づけられる予想を提示・検討すること。
• 最小モデルプログラムおよびlog-正則特異点の技法を、特にファイブレーションと基底変換の文脈において、オルビフォールド圏に拡張すること。

提案手法

• 除法的データによる幾何的オルビフォールドの定義を導入し、オルビフォールドの準同型、微分形式、基本群といった内在的不変量を定義する。
• オルビフォールドの canonical 次元 $κ_{\text{orb}}$ と $κ_+$ 不変量を導入し、双有理幾何に基づくオルビフォールドの分類に用いる。
• オルビフォールドのコアファイブレーションを、特殊なファイバーと一般型の底を持つファイブレーションとして構成し、Iitakaファイブレーションのオルビフォールド版を用いる。
• κ₊ = −∞ を定義し、オルビフォールド圏における有理的連結性を捉える。これは無理的多様体の一般化である。
• オルビフォールドファイブレーションと基底変換を用いて、基本群の完全列の正確性と多価正則形式の次元の加法性を回復する。
• オルビフォールドの「コア」を関手的不変量として定義し、条件付き分解によりκ = 0またはκ₊ = −∞型の層に分解可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact Kähler多様体のバイメルモーフィック分類は、特殊なオルビフォールドと一般型の底を含む二段階のファイブレーション分解によって体系的に構造化可能か？
• RQ2 オルビフォールド圏は、古典的多様体の圏で失敗するが、ファイブレーションに沿った基本群や多価正則形式の次元の加法性を回復するか？
• RQ3 正の次元の一般型オルビフォールドに安定的に写像しないという定義によるオルビフォールドの特殊性は、有理的連結性やKobayashi擬距離の消滅といった幾何的性質によって特徴づけられるか？
• RQ4 オルビフォールドのコアは、κ = 0またはκ₊ = −∞のファイバーを持つ層に自然に分解可能か？その分解の条件は何か？
• RQ5 オルビフォールドの不変量（$κ$、$κ_+$、基本群）は、バイメルモーフィズム、エタール被覆、ファイブレーションにおける基底変換の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• オルビフォールドファイブレーションにおいて、基本群の完全列の正確性がオルビフォールド圏で回復され、これは古典的圏では失われる性質である。
• canonical 次元 $κ_{\text{orb}}$ はバイメルモーフィズムに関して不変であり、$κ_+ = -\infty$ であることは、オルビフォールドがオルビフォールド的意味で無理的であることに同値である。
• 幾何的オルビフォールドのコアファイブレーションは関手的であり、特殊なファイバーと一般型の底を持つファイブレーションに全空間を分解する。これはIitakaファイブレーションを一般化する。
• 特殊なオルビフォールドは、Kobayashi擬距離の消滅と有理点の潜在的密度によって特徴づけられるという予想が成り立つ。
• オルビフォールド版の加法性予想が成立する：ファイブレーションの一般型ファイバーと底が両方ともκ = 0またはκ₊ = −∞であれば、全空間に対しても同様に成り立つ。
• オルビフォールドのコアは、リー代数のLevi分解に類似した、κ = 0またはκ₊ = −∞型の層への条件付き分解を許容する。