[論文レビュー] Orbifolds as Groupoids: an Introduction

Ieke Moerdijk|ArXiv.org|Mar 11, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 154

ひとこと要約

本稿では、リー群コホモロジーの枠組みを通じて、軌道多様体（orbifold）を導入し、群コホモロジーがホモトピー型、K理論、層コホモロジー、ブレドンコホモロジーといった軌道多様体不変量を定義・研究するためのグローバルで統一的な言語を提供することを示している。主な貢献は、ループの群コホモロジーから得られるインertia軌道多様体の構成であり、これは自然に共轭類を記述し、コンvolution代数を通じて表現論および非可換幾何学と結びつく。

ABSTRACT

This is a survey paper based on my talk at the Workshop on Orbifolds and String Theory, the goal of which was to explain the role of groupoids and their classifying spaces as a foundation for the theory of orbifolds.

研究の動機と目的

• リー群コホモロジーを用いて、局所チャートの代わりに一貫性のあるグローバルな枠組みを構築し、軌道多様体理論を体系的に定式化すること。
• 群コホモロジーに基づく定式化を通じて、層コホモロジー、K理論、ブレドンコホモロジーといった構造と軌道多様体との関係を明確にすること。
• ループの群コホモロジーから生じる自然な構成として、インertia軌道多様体を定義・特徴づけること。
• 群コホモロジーのコンvolution代数を通じて、軌道多様体不変量を非可換幾何学と結びつけること。
• 群コホモロジーのモリタ同値性が、対応する軌道多様体の同型に一致することを示し、同値な記述間の整合性を保証すること。

提案手法

• 対象が点、矢印が局所的群作用を表す、適切なエタールリー群コホモロジーとして軌道多様体を表現する。
• 群コホモロジーの分類空間を、ナーヴェ構成を用いて、軌道多様体のホモトピー型を捉える。
• 群コホモロジー上の等変層の導来圏を用いて、軌道多様体の層コホモロジーを定義する。
• ループ空間 $ S_G = \{g \in G_1 \mid s(g) = t(g)\} $ 上での出発射と終点射のプッシュアウトとして、インertia群コホモロジー $\Lambda(G)$ を構成し、$ S_G \rtimes G $ を形成する。
• Lerayスペクトル系列を適用して、インertia群コホモロジーのコホモロジーと、同型群およびその中心化群の群コホモロジーとの関係を関係づける。
• コンpactに台を持つ滑らかな関数のコンvolution代数 $C^\infty_c(G)$ を用いて、非可換不変量を定義し、周期的循環コホモロジーおよびチャーン類への接続を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群コホモロジーを用いて、軌道多様体のトポロジー的および幾何学的不変量を統一的に記述する方法は何か？
• RQ2 インertia群コホモロジーは、軌道多様体コホモロジーにおける共轭類および表現論的データをどのように記述するか？
• RQ3 群コホモロジーの分類空間は、どのようにして軌道多様体のホモトピー型を回復するか？
• RQ4 射影 $\beta: \Lambda(G) \to G$ 沿いの導来押し出しは、軌道多様体のブレドンコホモロジーとどのような関係にあるか？
• RQ5 群コホモロジーのコンvolution代数は、非可換幾何学および軌道多様体K理論におけるチャーン類とどのように関係するか？

主な発見

• インertia軌道多様体 $\Lambda(\underline{X})$ は、モリタ同値の意味で一意に定まり、任意の $\underline{X}$ を表す群コホモロジー $G$ に対して、$\Lambda(G)$ が表す軌道多様体に対応する。
• 点 $x$ における高次直接像 $R^i(q\beta)_*(\mathbb{C})$ は、同型群 $G_x$ の共轭類 $(g)$ を走る群コホモロジー $H^i(Z(g), \mathbb{C})$ の積と同型であり、インertia群コホモロジーのコホモロジーとこれらの不変量との間のスペクトル系列を導く。
• コンパクトな軌道多様体に対して、チャーン類は同型 $K^\nu(G) \otimes \mathbb{C} \to \prod_i H^{2i+\nu}(|G|, \underline{R}_{\mathbb{C}})$ を誘導する。ここで $\underline{R}_{\mathbb{C}}$ は複素表現環の層である。
• 層 $R^0(q\beta)_*(\mathbb{C})$ は、同型群上の共轭関数の層と同型であり、$R_{\mathbb{C}}(G_x)$ としての表現環と一致し、ブレドンコホモロジーへのリンクを確立する。
• 非可換チャーン類は、コンvolution代数 $C^\infty_c(G)$ の周期的循環コホモロジーを経由して因子化され、非可換幾何学への橋渡しを提供する。
• 点 $x$ における導来押し出し $R^i\beta_*(B)$ は、$H^i(G_x, B_x)$ と同型であり、インertia構成が自然に等変コホモロジー的データを捉えていることを示す。