[論文レビュー] Orbit complexity, initial data sensitivity and weakly chaotic dynamical systems

Stefano Galatolo|ArXiv.org|Feb 23, 2001

Fractal and DNA sequence analysis参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非標準解析を用いて弱いカオス的系における指数関数的でないおよびべき則的挙動を捉えるために、初期条件に対する感受性および軌道の複雑さの一般化された指標を導入する。Ruelle-PesinおよびBrin-Katokの定理を一般化し、超指数的感受性を示す点がゼロ次元集合を形成することを証明する。また、この枠組みをManneville写像に適用し、軌道の複雑さが $ n^\alpha $ として $ \alpha = 1/(z-1) $ のように増加することを示す。

ABSTRACT

We give a definition of generalized indicators of sensitivity to initial conditions and orbit complexity (a measure of the information that is necessary to describe the orbit of a given point). The well known Ruelle-Pesin and Brin-Katok theorems, combined with Brudno's theorem give a relation between initial data sensitivity and orbit complexity that is generalized in the present work. The generalized relation implies that the set of points where the sensitivity to initial conditions is more than exponential in all directions is a 0 dimensional set. The generalized relation is then applied to the study of an important example of weakly chaotic dynamics: the Manneville map.

研究の動機と目的

• 指数的成長を超える挙動を示す弱いカオス的系において、従来のカオス指標（例えば、リャプノフ指数、コルモゴロフ・シナイエントロピー）が消えるという限界に対処する。
• 指数的成長やべき則的挙動を捉えるために、初期条件に対する感受性および軌道の複雑さを測る一般化された枠組みを構築する。
• 非コンパクト空間または弱いカオス的系において、初期条件に対する感受性と軌道の複雑さの間の厳密な関係を確立する。
• Manneville写像（弱いカオス的ダイナミクスの代表例）にこの枠組みを適用し、分析する。
• カオスの閾値付近の系における複雑さの経験的観察を解釈する理論的基盤を提供する。

提案手法

• 非標準解析を用いて、すべての列の漸近的成長率を表す完全順序集合 $ \mathcal{R} $ を構築する。
• 符号的軌道のアルゴリズム的情報量（コルモゴロフ複雑度）を用いて軌道の複雑さを定義し、非コンパクト空間へ拡張する。
• Brudnoの定理およびその一般化を用いて、軌道の複雑さと局所エントロピー、感受性指標を関連付ける。
• Manneville写像 $ T_z $ にこの枠組みを適用し、再帰時間と符号的ダイナミクスを分析して複雑さを推定する。
• 対数再帰時間の平均法則を用いて、期待軌道複雑度 $ \mathcal{E}^I(x,n,\epsilon) $ を推定する。
• Tsallisエントロピー枠組みと安定分布の法則を用いて、複雑さ増加の点ごとの漸近的推定値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的系において、初期条件に対する感受性と軌道の複雑さを指数的成長を超えてどのように一般化できるか。
• RQ2 弱いカオス的系において、一般化された感受性と軌道の複雑さの関係は何か。
• RQ3 Manneville写像における軌道の複雑さはどのように増加するか。また、これは厳密に推定可能か。
• RQ4 非標準解析が、複雑さと感受性指標の統一スケールを定義する上で果たす役割は何か。
• RQ5 ゼロエントロピーを持つ系における経験的データを研究するために、軌道複雑度の計算可能な近似値は使用可能か。

主な発見

• 初期条件に対する指数的を超える感受性を示す点の集合は0次元であるため、位相的にそのような点はまれである。
• Manneville写像における軌道の複雑さは $ n^\alpha $ として増加し、$ \alpha = 1/(z-1) $ である。ここで $ z > 1 $ は写像のパラメータである。
• ほとんどすべての $ x \in [0,1] $ に対して、軌道の複雑さ $ \mathcal{E}(x,n,\epsilon) \simeq n^\alpha $ である。これは複雑さの非線形的増加を確認する。
• 再帰時間分布が与えられた下で、期待軌道複雑度 $ \mathbb{E}[\mathcal{E}^I(x,n,\epsilon)] $ は $ O(n^\alpha) $ で有界であり、$ \alpha = 1/(z-1) $ である。
• 再帰時間の漸近的挙動に基づき、$ \log t_i $ の平均法則（期待値が有限）を用いて、点ごとの複雑さ推定値が導出される。
• 理論的結果は、$ O(n^\alpha) $ の複雑さ増加を示す数値実験と一致し、経験的研究におけるデータ圧縮をアルゴリズム的複雑度の代理として使用することの妥当性を支持する。