[論文レビュー] Orbit Equivalence and actions of F_n

Asger Törnquist|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、標準的ボレル確率空間上での自由群 $\mathbb{F}_n$ ($2 \leq n \leq \infty$) のほとんど everywhere free 動きに対して、非可算に多くの軌道非同値な作用が存在することを確立している。具体的には、少なくとも $E_0$ 個のこのような作用が存在する。力学系、ボレル還元、および Becker-Kechris の定理を組み合わせることで、これらの作用の軌道同値性が滑らかでないことを示しており、実数値の完全不変量が存在しないことを排除している。

ABSTRACT

In this paper we show that there are "E_0 many" orbit inequivalent free actions of the free groups F_n, $2\leq n\leq\infty$, by measure preserving transformations on a standard Borel probability space. In particular, there are uncountably many such actions.

研究の動機と目的

• 標準的ボレル確率空間上での $\mathbb{F}_n$ ($2 \leq n \leq \infty$) のほとんど everywhere free 動きに対して、少なくとも $E_0$ 個の軌道非同値な作用が存在することを示すこと。
• Borel還元による $E_0$-還元を示すことにより、このような作用の軌道同値性が具体的に分類可能でない（すなわち、滑らかでない）ことを示すこと。
• Gaboriau および Popa の連続体個の軌道非同値な作用に関する結果を、より強い複雑性下界を示すことによって強化すること。
• 測度保存変換の群における同値関係に Becker-Kechris の定理を適用し、$E_0$-還元を導出すること。
• 拡張法を用いて $\mathbb{F}_3$ から $\mathbb{F}_2$ および $n > 3$ の $\mathbb{F}_n$ への結果の拡張を達成すること。

提案手法

• $\mathbb{F}_2$ の特定の a.e. free 動きを、標準的ボレル確率空間上に構成し、その作用に関して $L^\infty(X)$ の部分群 $G \subseteq L^\infty(X)$ が不変となるようにし、相対的性質 (T) を持つ半直積を得ること。
• $\mathcal{M}_\infty(X)$、すなわち測度保存変換の群上に同値関係 $\mathbf{R}$ を定義する。ここで $S \mathbf{R} S'$ とは、$S$ と $\mathbb{F}_2$ が生成する同値関係が軌道同値であることを意味する。
• $\mathbf{R}/\mathbf{F}$ の類が可算であることを示し、$\mathbf{R}$ が $\mathcal{M}_\infty(X) \times \mathcal{M}_\infty(X)$ において meagre であることを示すこと。
• Becker-Kechris の定理を適用する：同値関係 $E$ が meagre であり、かつ位相的同相による群作用で稠密な $G$-軌道を持つならば、$E_0 \leq_B E$ が成り立つ。
• 内自己同型群 $\operatorname{Inn}(E_{\mathbb{F}_2})$ を用い、$\mathcal{M}_\infty(X)$ 上で共役作用により作用させることで、稠密な軌道を得られ、Becker-Kechris の定理の条件を満たすことを示すこと。
• $\mathbb{F}_3$ から $\mathbb{F}_2$ および $\mathbb{F}_n$ ($n > 3$) への結果の拡張を、積空間 $Y = X \times \{0,1\}$ を構成し、フリップ変換 $\tau$ を用いて作用を上昇させることで達成する。この方法により、軌道同値性が保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ボレル確率空間上での $\mathbb{F}_n$ の自由作用に対して、非可算に多くの軌道非同値な作用が存在するか？
• RQ2 Borel還元において、このような作用の軌道同値性の複雑性は $E_0$ で下から抑えられるか？
• RQ3 自由群 $\mathbb{F}_n$ ($n \geq 2$) の作用の軌道同値性は、滑らかであるか、すなわち実数によって完全に分類可能か？
• RQ4 $\mathbb{F}_3$ に対する結果を、位相的または力学的構成を用いて $\mathbb{F}_2$ および $n > 3$ の $\mathbb{F}_n$ に拡張できるか？
• RQ5 $\mathbb{F}_n$ の作用の軌道同値性は $E_0$ よりも複雑であるか、それとも $E_0$-完全である可能性があるか？

主な発見

• $2 \leq n \leq \infty$ に対して、$\mathbb{F}_n$ の a.e. free 動きに対して、少なくとも $E_0$ 個の軌道非同値な作用が存在し、これは非可算個の作用に対応する。
• $\mathcal{M}_\infty(X)$ 上の同値関係 $\mathbf{R}$ は、$\mathbb{F}_2$ と変換 $S$ が生成する作用の軌道同値性によって定義され、$\mathcal{M}_\infty(X) \times \mathcal{M}_\infty(X)$ において meagre である。
• Becker-Kechris の定理により、$E_0 \leq_B \mathbf{R}|A$ が成り立つ。ここで $A$ は $\mathbb{F}_3$ の a.e. free 動きを生成する変換の集合である。これにより、$\mathbb{F}_3$ に対する主結果が証明される。
• $\mathbb{F}_2$ に対する結果は、フリップ写像 $\tau$ を用いた積空間の構成により、$\mathbb{F}_3$ の結果から導出可能であり、軌道同値性が保存される。
• a.e. で自由な測度保存変換による $\mathbb{F}_n$ ($n \geq 2$) の作用が誘導する同値関係の等価性は、滑らかでない。$E_0 \leq_B \mathbf{F}$ が成り立つ。ここで $\mathbf{F}$ は誘導される同値関係の等価性を表す。
• 著者は、$\mathbb{F}_n$ の作用の軌道同値性が $E_0$ よりも複雑であると予想しているが、これは未解決の問題のままである。