[論文レビュー] Orbit inequivalent actions for groups containing a copy of $\Bbb F_2$

Adrian Ioana|ArXiv.org|Dec 31, 2006

Advanced Operator Algebra Research被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、可算離散群が自由群 $$\mathbb{F}_2$$ のコピーを含む場合、非可算に多くの非軌道同値な自由で、エルゴディックで、測度を保存する作用をもつことを証明している。$$\mathbb{F}_2$$-作用が$$\mathbb{T}^2$$に誘導する相対的性質(T)による剛性と、分離可能性の議論を組み合わせることで、このような作用の間の軌道同値性は、$$\mathbb{F}_2$$への制限の同型を意味する。これは、共誘導作用を用いて非可算に多くの非同型な制限を構成することで、その可能性が排除される。

ABSTRACT

We prove that if a countable group $Γ$ contains a copy of $\Bbb F_2$, then it admits uncountably many non orbit equivalent actions.

研究の動機と目的

• 非可換な群が$$\mathbb{F}_2$$のコピーを含む場合、非可算に多くの非軌道同値な作用をもつかどうかという問いに答える。
• 性質(T)、自由群、写像類群のクラスを超えて、非可換な群のうち非可算に多くの非軌道同値な作用をもつような群のクラスを拡張する。
• 測度同値性が、非可算に多くの非軌道同値な作用をもつという性質を保存することを確立する。
• $$\mathbb{F}_2$$-作用が$$\mathbb{T}^2$$に誘導する剛性が、分離可能性の議論を用いて軌道同値類を区別するのに利用可能であることを示す。

提案手法

• $$\Gamma$$-作用のクラス$$\mathcal{F}$$を定義し、その$$\mathbb{F}_2$$への制限が$$\mathbb{T}^2$$上の$$\mathbb{F}_2$$-作用を商として持つようにする。
• ペア$$(\mathbb{F}_2\ltimes\mathbb{Z}^2, \mathbb{Z}^2)$$の相対的性質(T)を用いて、$$\alpha$$-作用が$$\mathbb{T}^2$$に誘導する剛性を確立し、特定のベクトルに対して近似的な$$\mathbb{F}_2$$-不変性が正確な不変性を意味することを示す。
• ポーパとガブリオーにインspiredされた分離可能性の議論を適用し、$$\mathcal{F}$$に属する二つの$$\Gamma$$-作用の軌道同値性が、それらの$$\mathbb{F}_2$$-制限の同型を意味することを示す。
• 共誘導構成を用いて、互いに非同型な$$\mathbb{F}_2$$-制限を持つ、非可算に多くの$$\mathcal{F}$$に属する作用を構成する。
• フォン・ノイマン代数の技術を用いる：$$N = L^\infty(\mathbb{T}^2)\rtimes_\alpha \mathbb{F}_2$$を$$M_i = L^\infty(X_i)\rtimes_{\sigma_i} \Gamma$$の交叉積に埋め込み、包含$$Q \subset N$$の剛性を用いて、非可算に多くの$$M_i$$が同型であると仮定すると矛盾が生じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の可算離散群$$\Gamma$$が$$\mathbb{F}_2$$のコピーを含む場合、非可算に多くの非軌道同値な自由で、エルゴディックで、測度を保存する作用をもつか？
• RQ2 $$\mathbb{F}_2$$-作用が$$\mathbb{T}^2$$に誘導する剛性は、分離可能性の議論を用いて$$\Gamma$$-作用の軌道同値類を区別するのに利用可能か？
• RQ3 非可算に多くの非軌道同値な作用をもつという性質は、測度同値性のもとで保存されるか？
• RQ4 共誘導構成は、クラス$$\mathcal{F}$$内でどれほど多くの非同型な$$\mathbb{F}_2$$-制限を生成するか？

主な発見

• 任意の可算離散群$$\Gamma$$が$$\mathbb{F}_2$$のコピーを含む場合、非可算に多くの非軌道同値な自由で、エルゴディックで、測度を保存する作用をもつ。
• ペア$$(\mathbb{F}_2\ltimes\mathbb{Z}^2, \mathbb{Z}^2)$$の相対的性質(T)に起因する$$\mathbb{F}_2$$-作用が$$\mathbb{T}^2$$に誘導する剛性により、特定のベクトルに対して近似的な$$\mathbb{F}_2$$-不変性が正確な不変性を意味する。
• $$\mathcal{F}$$に属する二つの$$\Gamma$$-作用の軌道同値性は、それらの$$\mathbb{F}_2$$への制限の同型を意味する。
• 共誘導構成を用いて、互いに非同型な$$\mathbb{F}_2$$-制限を持つ、非可算に多くの$$\mathcal{F}$$に属する作用が構成された。
• 証明では、非可算に多くの$$M_i = L^\infty(X_i)\rtimes_{\sigma_i}\Gamma$$が同型であると仮定すると、包含$$Q \subset N$$の剛性が矛盾を引き起こし、$$Q$$のユニタリ群上で標準的な平均化のトリックを用いて矛盾に至ることを示した。
• この結果は、$$\Gamma$$と測度同値な任意の群$$\Lambda$$に対しても拡張され、$$\Lambda$$も非可算に多くの非軌道同値な作用をもつ。