[論文レビュー] Orbit spaces and leaf spaces of foliations as generalized manifolds

Mark Losik|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、一般化された多様体のためのカテゴリー的枠組みを導入し、foliationの軌道空間および葉空間を、アトラスに類似した構造的集合として扱うことで、それらの研究を簡略化する。Reeb foliationの葉空間の1番目のチャーン類が非自明であることを証明し、その幾何的意味はそのコンパクトな葉のホロノミーを符号化している。これは、foliation理論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

The paper gives a categorical approach to generalized manifolds such as orbit spaces and leaf spaces of foliations. It is suggested to consider these spaces as sets equipped with some additional structure which generalizes the notion of atlas. The approach is compared with the known ones that use the Grothendieck topos, the Haefliger classifying space and the Connes non-commutative geometry. The main aim of this paper is to indicate that the suggested approach permits to simplify essentially the modern theory of the leaf space of foliations and the orbit space of diffeomorphism groups, and to obtain some new results on the characteristic classes of foliations. As an application, it is shown that the first Chern class is non-trivial for the leaf space of the Reeb foliation and its geometrical meaning is indicated.

研究の動機と目的

• foliationの葉空間および微分同相群の軌道空間の現代的理論を簡略化すること。
• トポス理論や非可換幾何学に依存しない、新しい構造的アプローチを用いて一般化された多様体を定式化すること。
• Reeb foliationの葉空間における特性類、特に1番目のチャーン類の非自明性を確立すること。
• 1番目のチャーン類の幾何的意味を、コンパクトな葉のホロノミー情報として明確化すること。
• 滑らかなエタール群コホエレントに基づく一様なカテゴリー的枠組み内で、軌道空間および葉空間の研究を統一すること。

提案手法

• C-空間の圏を導入し、対象はGrothendieck位相と滑らかな関数の構造層を備えた集合として定義され、多様体を一般化する。
• C-アトラスの概念を用いて、局所微分同相写像としての遷移写像を持つ一般化された多様体を定義し、orbifoldに類似する。
• 滑らかな構造を層論的およびカテゴリー的データとして符号化することで、多様体および一般化された空間（例：葉空間）を含む圏を構成する。
• Čech-De Rhamコホホロジーを用いて、foliationの特性類、特に1番目のチャーン類を定義する。
• 微分形式の周期性と滑らかさを用いた背理法を用い、Reeb foliationのケースにおいてチャーン類の非自明性を証明する。
• Reeb foliationのコンパクトな葉のホロノミーを解析し、チャーン類の幾何的意味を解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポス理論や非可換幾何学に依存せずに、foliationの葉空間を意味的に一般化された多様体として扱うことは可能か？
• RQ2 Reeb foliationの葉空間の1番目のチャーン類は非自明であり、それは幾何的に何を表すか？
• RQ3 提案されたカテゴリー的枠組みは、従来のアプローチと比較して、軌道空間および葉空間の研究をどのように簡略化するか？
• RQ4 特性類が層論的アトラスに基づく方法で一貫して定義され、計算可能か？
• RQ5 Losikが示唆したように、1番目のチャーン類の葉空間は、向きの違いを除いてfoliationを決定づけるか？

主な発見

• Reeb foliationの葉空間の1番目のチャーン類は非自明であり、foliation理論における重要な未解決問題を解決する。
• 滑らかな1次微分形式の引き戻しと周期性制約を用いた背理法により、1番目のチャーン類の非自明性が証明された。
• 1番目のチャーン類は、遷移関数およびその導関数の構造を通じて、Reeb foliationのコンパクトな葉のホロノミーを幾何的に符号化している。
• 提案されたカテゴリー的枠組みは、Grothendieck位相や非可換代数の技術的複雑さを回避し、軌道空間および葉空間の統一的かつ簡略化された取り扱いを可能にする。
• Čech-De Rhamコホホロジーを用いたアトラスに基づく構造により、特性類が明示的に定義され、計算可能であり、明確な結果が得られた。
• 証明により、滑らかな関数の2階微分を含むある式の極限が発散することを示し、滑らかな拡張の仮定に反するため、チャーン類の非自明性が証明された。